Cremonaplan
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Der Cremonaplan dient bei statisch bestimmten Fachwerken der zeichnerischen Bestimmung der Stabkräfte zur Bemessung der Stäbe. Er wurde im 19. Jahrhundert von Antonio Luigi Gaudenzio Giuseppe Cremona entwickelt.
Die dem Cremonaplan zugrundeliegenden Methoden sind sehr hilfreich bei der Ausbildung. Im Computerzeitalter erfolgt die Ermittlung der Stabkräfte in der Regel schneller und bequemer ohne die grafische Darstellung des Kraftecks.
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[Bearbeiten] Beschreibung
Das Grundprinzip beruht darauf, dass an jedem Knotenpunkt eines Fachwerks Gleichgewicht herrschen muss. Wenn man die Stabkräfte an den Knoten als äußere Kräfte auffasst, ist die Summe dieser Kräfte = 0. Für jeden Knoten lässt sich ein geschlossenes Krafteck zeichnen. Fügt man die einzelnen Kraftecke zusammen, entsteht der Cremonaplan.
Jede Stabkraft kommt an zwei Knoten und in zwei Kraftecken vor. Deshalb ergibt der Cremonaplan ein geschlossenes maßstabsgerechtes Krafteck, in dem jede Stabkraft nur einmal vorkommt.
[Bearbeiten] Vorgehensweise
Zuerst muss man die Auflagerkräfte bestimmen. Das ist bei einem statisch bestimmten System nicht schwierig. Z.B. zeichnerisch mit dem Seileckverfahren oder rechnerisch nach den Gleichgewichtsbedingungen (siehe Statisch bestimmt Summe V=0, Summe H=0, Summe M=0). Als nächstes muss es mindestens einen Knoten geben, an dem nur zwei Stäbe angeschlossen sind, so dass man dort beginnen kann; das ist normalerweise eines der Auflager. Von dort aus geht man der Reihe nach alle Knoten durch. Bei jedem weiteren Knoten dürfen auch nur höchstens zwei neue Stäbe, deren Stabkraft noch nicht bestimmt ist, anschließen. Bei jeder Kraft kennzeichnet man, zu welchem Stab sie gehört und ob es eine Zugkraft oder eine Druckkraft ist.
An allen Fachwerkknoten muss man den gleichen Umfahrungssinn verwenden. Jede Stabkraft darf nur einmal gezeichnet werden. Hat man alles richtig gemacht, so muss sich das Krafteck schließen. Da das Krafteck maßstäblich ist, entspricht die Länge der gezeichneten Linien den Kräften.
Auch für die von außen einwirkenden Kräfte muss ein Umfahrungssinn festgelegt werden (im Uhrzeigersinn oder entgegengesetzt). Die danach in der richtigen Reihenfolge eingetragenen Kräfte ergeben auch ein geschlossenes Krafteck.
In allen Kraftecken sind die Richtungen der Kräfte (bis auf das der Außenkräfte) irrelevant. Es geht um die Beträge und die Festlegung ob es sich um eine Zug- oder eine Druckkraft handelt.
Hier ein einfaches Beispiel: 
Nachfolgend wird an dem o.a. Beispiel die Ermittlung der Größe und Richtung der Stabkräfte erklärt:
Nachdem die Auflagerkräfte wie oben beschrieben ermittelt wurden und das Krafteck der äußeren Kräfte gezeichnet wurde, sucht man sich einen Knoten in dem maximal zwei Stabkräfte unbekannt sind. Im Beispiel wurde der Knoten B mit den beiden unbekannten Stäbkräften für U2 und D4 gewählt. Zur besseren Übersicht wurde das Einzelkrafteck herausgezeichnet was aber eigentlich nicht erforderlich ist.
1. Man stellt sich gedanklich zwischen die beiden unbekannten Stäbe und dreht sich (hier rechts herum) um den Knoten. Die erste (und an diesem Knoten auch einzige) bekannte Kraft die man trifft ist hier die Auflagerkraft B die man im (hier im Einzelkrafteck) mit ihrer Richtung und Größe maßstäblich aufzeichnet.
2. Als nächstes trifft man den unbekannten Stab U2. An das Ende der vorgehenden Kraft (B) trägt man im Krafteck nun die Wirkungslinie (Richtung der Kraft) als Gerade, noch ohne Größe, an.
3. Die jetzt noch verbleibende Kraft im Stab D4 wird im Krafteck ebenfalls mit ihrer Wirkungslinie angetragen. Da sie das Krafteck schließen muss, geht sie hier durch den Anfangspunkt der Auflagerkraft B.
4. Jetzt hat man das fertige Krafteck B, U2, D4. Da sich das Krafteck schließen muss, kann man die Richtungspfeile entsprechend antragen. Die Größe der Stabkräfte lässt sich durch Messen der einzelnen Längen im gewählten Maßstab ermitteln.
5. In der Systemskizze am untersuchten Knoten trägt man jetzt ebenfalls die ermittelten Pfeile in derselben Richtung an. Hier in Knoten B geht die Kraft U2 vom Knoten weg und die Kraft D4 zum Knoten hin. Kräfte vom Knoten weg sind im Stab immer Zugkräfte (hier blau) und zum Knoten hin immer Druckkräfte (hier rot). Nun hat man für den untersuchten Knoten die Größe und Richtung der Kräfte ermittelt.
6. Da die Kräfte im jeweiligen Stab von der Art und der Größe konstant sind, kann man jetzt die Richtungspfeile am gegenüberliegenden Knoten der beiden Stäbe auch antragen. Zugkräfte vom Knoten weg, Druckkräfte zum Knoten hin. Die Pfeile zeigen an den Stabenden also in die entgegengesetzte Richtung. Damit ist der Knoten B fertig.
Jetzt kann die Kräfte am nächsten Knoten ermittel, wobei die vorher ermittelten Stabkräfte jetzt ja bekannt sind. Im Beispiel wäre das der Knoten K3 mit den bekannten Lasten F2, F3 und Stabkraft D4 und den unbekannten zwei Stäben D3 und O1. Man geht dafür sinngemäß wie vorstehend beschrieben (1. bis 6.).
Man muss nicht für jeden Knoten ein eigenes Krafteck zeichnen, sondern kann, mit etwas Übung, alle Stabkräfte in dem Gesamtkrafteck ermitteln. Hier hat man am Ende auch eine Kontrolle, da sich auch das Gesamtkrafteck schließen muss.
[Bearbeiten] Literatur
- Cremona, Luigi: Le figure reciproche nella statica grafica. Mailand: Ulrico Hoepli, 1872
- Gross, Hauger, Schröder, Wall: "Technische Mechanik 1", Springer Verlag
