নির্ণায়ক

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

নির্ণায়ক (ইংরেজি ভাষায়: Determinant) হল বীজগণিতের একটি ফাংশন যা স্কেলার রাশি n-এর উপর নির্ভরশীল। একটি নির্দিষ্ট ধনাত্মক সংখ্যা n এর জন্য n×n মেট্রিক্সের একটি অনন্য নির্ণায়ক ফাংশন আছে।

সূচিপত্র

১ উল্লম্ব বার
২ ২X২ মেট্রিক্সের নির্ণায়ক
৩ ৩X৩ মেট্রিক্সের নির্ণায়কসমূহ
৪ উদাহরণ

[সম্পাদনা] উল্লম্ব বার

মেট্রিক্স A এর নির্ণায়ককে |A| দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই প্রকাশ পদ্ধতিটি কিছুটা দ্ব্যর্থবোধক, কেননা এটি মেট্রিক্সের কিছু নর্ম এবং পরম মান প্রকাশের জন্যও ব্যবহার হয়ে থাকে। মেট্রিক্স নর্মকে দুটি উল্লম্ব বার (e.g., ‖A‖) হিসেবেও উল্লেখ করা হয়ে থাকে, ফলে নির্ণায়ক প্রকাশে প্রথম পদ্ধতিটি প্রায়শই ব্যবহার হয়ে থাকে। উদাহরণস্বরুপ, মেট্রিক্সের জন্য

$A = \begin{bmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{bmatrix}\,$

নির্ণায়ক $det(A)$ কে প্রকাশ করা হয় $| A |$ বা আরো নির্দিষ্টভাবে

$|A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}.\,$

অর্থাৎ, বর্গাকৃতির বন্ধনীসমূহ দীর্ঘ উল্লম্ব বার দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়।

[সম্পাদনা] ২X২ মেট্রিক্সের নির্ণায়ক

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলটি হল এর বাহু নির্দেশক ভেক্টরগুলো থেকে সৃষ্ট মেট্রিক্সের নির্ণায়ক

2×2 মেট্রিক্স হল

$A = \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}\,$

মেট্রিক্সটির নির্ণায়ক হল

$\det(A)=ad-bc.\,$

[সম্পাদনা] ৩X৩ মেট্রিক্সের নির্ণায়কসমূহ

এই প্যারালালপিপেডটির আয়তন হল r1, r2, ও r3 সারির মেট্রিক্সের নির্ণায়কটির পূর্ণমান

The 3×3 matrix:

$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}.$

মেট্রিক্সটির প্রথম সারিতে cofactor expansion ব্যবহার করে আমরা পাই:

$\begin{align} \det(A) &= a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix} -b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix} +c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix} \\ &= aei-afh-bdi+cdh+bfg-ceg \\ &= (aei+bfg+cdh)-(gec+hfa+idb), \end{align}$

৩x৩ মেট্রিক্সের নির্ণায়ক কোণাকুণি রেখা দিয়ে হিসাব করা যাবে

একে সহজভাবে মনে রাখা যাবে এভাবে, এটি হল উত্তর-পশ্চিম থেকে দক্ষিণ-পূর্ব বরাবর তিনটি কোণাকুণি রেখার উপাদানগুলোর গুণফলের সমুষ্টি থেকে দক্ষিণ-পশ্চিম থেকে উত্তর-পূর্বে তিনটি রেখার উপাদানের সমুষ্টির বিয়োগফলের সমান যখন মেট্রিক্সের প্রথম দুটি কলামের কপি নিম্নোক্ত উপায়ে লেখা হয়

$\begin{matrix} \color{blue}a & \color{blue}b & \color{blue}c & a & b \\ d & \color{blue}e & \color{blue}f & \color{blue}d & e \\ g & h & \color{blue}i & \color{blue}g & \color{blue}h \end{matrix} \quad - \quad \begin{matrix} a & b & \color{red}c & \color{red}a & \color{red}b \\ d & \color{red}e & \color{red}f & \color{red}d & e \\ \color{red}g & \color{red}h & \color{red}i & g & h \end{matrix}$

উল্লেখ্য যে, এই স্মরণ রাখার পদ্ধতিটি উচ্চতর মাত্রার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

[সম্পাদনা] উদাহরণ

ধরা যাক, আমরা নিম্নোক্ত ক্ষেত্রে নির্ণায়কের মান নির্ণয় করতে চাই

$A = \begin{bmatrix}-2&2&-3\\ -1& 1& 3\\ 2 &0 &-1\end{bmatrix}.$

সরাসরি লাইবনিৎসের সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:

$\det(A)\,$	$=\,$	$(-2\cdot 1 \cdot -1) + (-3\cdot -1 \cdot 0) + (2\cdot 3\cdot 2)$
		$- (-3\cdot 1 \cdot 2) - (-2\cdot 3 \cdot 0) - (2\cdot -1 \cdot -1)$
	$=\,$	$2 + 0 + 12 - (-6) - 0 - 2 = 18.\,$

এছাড়াও আমরা লাপ্লাস বিস্তার ব্যবহার করে নির্ণায়ককে কলাম ও সারির মাধ্যমে বর্ধিত করতে পারি। শূণ্য আছে এমন একটি সারি বা কলাম ব্যবহার করা ভাল, তাই দ্বিতীয় কলামটি নিয়ে পাই:

$\det(A)\,$	$=\,$	$(-1)^{1+2}\cdot 2 \cdot \det \begin{bmatrix}-1&3\\ 2 &-1\end{bmatrix} + (-1)^{2+2}\cdot 1 \cdot \det \begin{bmatrix}-2&-3\\ 2&-1\end{bmatrix}$
	$=\,$	$(-2)\cdot((-1)\cdot(-1)-2\cdot3)+1\cdot((-2)\cdot(-1)-2\cdot(-3))$
	$=\,$	$(-2)(-5)+8 = 18.\,$

প্র • আ • স গণিত
যুক্তিবিজ্ঞান এবং গণিতের ভিত্তি	গণিতের ভিত্তি • স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থা • গাণিতিক কূটাভাস • প্রতীকী যুক্তিবিজ্ঞান • স্বতঃসিদ্ধমূলক সেট তত্ত্ব • মডেল তত্ত্ব • অনাদর্শ বিশ্লেষণ • গ্যোডেল সংখ্যা • পুনরাবৃত্ত ফাংশন • সিদ্ধান্ত সমস্যা • গঠনমূলক ক্রমসূচক সংখ্যা • বিশ্লেষণী সেট
সেট, সাধারণ টপোগণিত এবং ক্যাটেগরিসমূহ	সেট • অন্বয় • সমতুল সম্পর্ক • ফাংশন • চয়নের স্বতঃসিদ্ধ ও এর সমতুলসমূহ • উপাদান সংখ্যা • সংগঠন • বিন্যাস ও সমাবেশ • সংখ্যা • বাস্তব সংখ্যা • জটিল সংখ্যা • ক্রমায়ন • ক্রমসূচুক সংখ্যা • ল্যাটিস • বুলিয়ান বীজগণিত • টপোজগৎ • মেট্রিক জগত • সমতল ডোমেইন • অভিসৃতি • সংযুক্ততা • মাত্রা তত্ত্ব • সমজগৎ • সমঅভিসৃতি • ক্যাটেগরি ও ফাংটর • আরোহী সীমা ও অভিক্ষেপী সীমা • শিফ
বীজগণিত	বীজগণিত • মেট্রিক্স • নির্ণায়ক • বহুপদী • বীজগাণিতিক সমীকরণ • ফিল্ড • গালোয়া তত্ত্ব • যোগাশ্রয়ী জগৎ • রিং • সহযোগী বীজগণিত • বিনিমেয় রিং • ন্যোথারীয় রিং • বহুপদীর রিং • ঘাত ধারার রিং • দ্বিঘাত ফর্ম • ক্লিফোর্ড বীজগণিত • অন্তরক রিং • ভিট ভেক্টর • মান আরোপন • আদেলীয় বীজগাণিতিক গ্রুপ • কেলি বীজগণিত • জর্ডান বীজগণিত • মডিউল • হোমোলজীয় বীজগণিত • হপ্‌ফ বীজগণিত
গ্রুপ তত্ত্ব	গ্রুপ • আবেলীয় গ্রুপ • মুক্ত গ্রুপ • সসীম গ্রুপ • ধ্রুপদী গ্রুপ • টপোগাণিতিক গ্রুপ • টপোগাণিতিক আবেলীয় গ্রুপ • সংবদ্ধ গ্রুপ • লি গ্রুপ • লি বীজগণিত • বীজগাণিতিক গ্রুপ • সমধর্মী জগৎ • প্রতিসম রীমানীয় জগৎ ও বাস্তব ফর্ম • বিচ্ছিন্ন গ্রুপ • স্ফটিকীয় গ্রুপ • উপস্থাপন • ঐকিক উপস্থাপন • অব্যয় ও সমপরিবর্তিতা
সংখ্যাতত্ত্ব	সংখ্যাতত্ত্ব • অবিরত ভগ্নাংশ • সংখ্যাতাত্ত্বিক ফাংশন • যোগাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব • সংখ্যার বিভাজন • মৌলিক সংখ্যার বিন্যাস • ল্যাটিস-বিন্দু সমস্যা • দিওফান্তুসীয় সমীকরণ • সংখ্যার জ্যামিতি • তুরীয় সংখ্যা • দ্বিঘাত ফিল্ড • বীজগাণিতিক সংখ্যা ফিল্ড • শ্রেণী ফিল্ড তত্ত্ব • জটিল গুণন • ফের্মার সমস্যা • স্থানীয় ফিল্ড • সহযোগী বীজগণিতের পাটীগণিত • জেটা ফাংশন
ইউক্লিডীয় এবং অভিক্ষেপী জ্যামিতি	জ্যামিতি • জ্যামিতির ভিত্তি • ইউক্লিডীয় জ্যামিতি • ইউক্লিডীয় জগৎ • জ্যামিতিক অঙ্কন • সুষম বহুভুজ • পাই • ত্রিকোণমিতি • কনিক • চতুর্মাত্রিক তল • উত্তল সেট • ভেক্টর • স্থানাংক • অভিক্ষেপী জ্যামিতি • অ্যাফাইন জ্যামিতি • অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি • সমরূপী জ্যামিতি • এরলাঙেন প্রকল্প • অবিচ্ছিন্ন জ্যামিতি • বক্ররেখা • তল • চার বর্ণ উপপাদ্য
অন্তরক জ্যামিতি	অন্তরক জ্যামিতি • অন্তুরীকরণযোগ্য প্রজগৎ • রিমানীয় প্রজগৎ • সংযোজন • টেনসর ক্যালকুলাস • প্রভূমিতি • প্রতিসম জগৎ • জি-সংগঠন • জটিল প্রজগৎ • কেলার প্রজগৎ • হারমনিক যোগজ • বক্ররেখা ও তলের অন্তরক জ্যামিতি • রিমানীয় উপ-প্রজগৎ • ন্যূনতম উপ-প্রজগৎ • হারমনিক চিত্রণ • মোর্স তত্ত্ব • ফিন্সলার জগৎ • যোগজ জ্যামিতি • জিগেল ডোমেন • ছদ্মসমরূপী জ্যামিতি • বর্ণালী জ্যামিতি • সামগ্রিক বিশ্লেষণ
বীজগাণিতিক জ্যামিতি	বীজগাণিতিক জ্যামিতি • বীজগাণিতিক বক্ররেখা • বীজগাণিতিক তল • বীজগাণিতিক ভ্যারাইটি • আবেলীয় ভ্যারাইটি • রিমান-রখ উপপাদ্য
টপোগণিত	টপোগণিত • মৌলিক গ্রুপ • আবরক জগৎ • চিত্রণের মাত্রা • কমপ্লেক্স • হোমোলজি তত্ত্ব • স্থির-বিন্দু উপপাদ্য • কোহোমোলজি অপারেশন • হোমোটপি তত্ত্ব • ফাইবার জগৎ • বাধা • লি গ্রুপ ও সমমাত্রিক জগতের টপোগণিত • ফাইবার গুচ্ছ • বিশিষ্ট শ্রেণী • কে-তত্ত্ব • গিঁট তত্ত্ব • গুচ্ছবিন্যাসীয় প্রজগৎ • অন্তরক টপোগণিত • রূপান্তর গ্রুপ • ব্যতিক্রম বিন্দুর তত্ত্ব • ফোলিয়েশন • গতি ব্যবস্থা • আকার তত্ত্ব • বিপর্যয় তত্ত্ব
বিশ্লেষণ গণিত	বিশ্লেষণ গণিত • অবিচ্ছিন্ন ফাংশন • অসমতা • উত্তল বিশ্লেষণ • সীমিত ভেদের ফাংশন • অন্তরকলন • অব্যক্ত ফাংশন • প্রাথমিক ফাংশন • সি-অসীমঘাত ফাংশন ও অর্ধ-বৈশ্লষিক ফাংশন • যোগজকলন • বক্ররৈখিক যোগজ ও পৃষ্ঠ যোগজ • পরিমাপ তত্ত্ব • যোগজীকরণ তত্ত্ব • অব্যয় পরিমাপ • সেট ফাংশন • দৈর্ঘ্য • ক্ষেত্রফল • দঁজোয়া যোগজ • ধারা • অসীমতটীয় ধারা • বহুপদীয় আসন্নীকরণ • লম্ব ফাংশন • ফুরিয়ে ধারা • ফুরিয়ে রূপান্তর • হারমনিক বিশ্লেষণ • প্রায়-পর্যায়বৃত্ত ফাংশন • লাপ্লাস রূপান্তর • যোগজ রূপান্তর • বিভব তত্ত্ব • হারমনিক ফাংশন ও উপহারমনিক ফাংশন • ডিরিশ্‌লেট সমস্যা • ধারকত্ব • ভেদকলন • প্লাতোর সমস্যা • সমপরিসীমা • ভেদ অসমতা
জটিল বিশ্লেষণ	হলোমর্ফিক ফাংশন • ঘাত ধারা • ডিরিশলেট ধারা • সীমিত ফাংশন • একযোজী ও বহুযোজী ফাংশন • তুরীয় সমগ্র ফাংশন • আনুপাতিক ফাংশন • জটিল ফাংশনের মানসমূহের বিন্যাস • গুচ্ছ সেট • বীজগাণিতিক ফাংশন • অ্যালজেব্রয়ডাল ফাংশন • রিমান তল • আদর্শ সীমানা • সমরূপী চিত্রণ • অর্ধ-সমরূপী চিত্রণ • টাইখম্যুলার জগৎ • ক্লাইনীয় গ্রুপ • চরমমান দৈর্ঘ্য • ফাংশনতাত্ত্বিক শূন্য সেট • জটিল রাশির বিশ্লেষণী ফাংশন • বিশ্লেষণী জগৎ • স্বসমচিত্রণী ফাংশন
ফাংশনাল বিশ্লেষণ	ফাংশনাল বিশ্লেষণ • হিলবার্ট জগৎ • বানাখ জগৎ • ক্রমায়িত যোগাশ্রয়ী জগৎ • টপোগাণিতিক যোগাশ্রয়ী জগৎ • ফাংশন জগৎ • বন্টন ফাংশন ও অতিফাংশন • ভেক্টর-মানকৃত যোগজ • যোগাশ্রয়ী অপারেটর • সংবদ্ধ ও নিউক্লীয় অপারেটর • অপারেটরসমূহের অন্তঃপাতন • অপারেটরের বর্ণালী বিশ্লেষণ • যোগাশ্রয়ী অপারেটরের বিচলন • অপারেটরের সেমিগ্রুপ ও বিবর্তন সমীকরণ • অন্তরক অপারেটর • অণুস্থানীয় বিশ্লেষণ • বানাখ বীজগণিত • ফাংশন বীজগণিত • অপারেটর বীজগণিত • অপারেশনাল ক্যালকুলাস • অ-যোগাশ্রয়ী ফাংশনাল বিশ্লেষণ
অন্তরক, যোগজ এবং ফাংশনাল সমীকরণসমূহ	অন্তরক সমীকরণ • সাধারণ অন্তরক সমীকরণ • আদিমান সমস্যা • সীমাস্থ মান সমস্যা • সমাধানের অসীমতটীয় আচরণ • যোগাশ্রয়ী সাধারণ অন্তরক সমীকরণ • অ-যোগাশ্রয়ী অন্তরক সমীকরণ • অ-যোগাশ্রয়ী দোলন • অ-যোগাশ্রয়ী সমস্যাসমূহ • সুস্থিতি • যোগজ অব্যয় • অন্তর সমীকরণ • ফাংশনাল-অন্তরক সমীকরণ • পূর্ণ অন্তরক সমীকরণ • স্পর্শ রূপান্তর • আংশিক অন্তরক সমীকরণ • মোঁজ-অম্পেয়্যার সমীকরণ • উপবৃত্তীয় ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • অধিবৃত্তীয় ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • পরাবৃত্তীয় ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • মিশ্র ধরনের আংশিক অন্তরক সমীকরণ • গ্রিনের ফাংশন • গ্রিনের অপারেটর • যোগজকলনীয় সমীকরণ • যোগজ-অন্তরক সমীকরণ • বিশেষ ফাংশনাল সমীকরণ • ছদ্ম-অন্তরক অপারেটর
বিশেষ ফাংশনসমূহ	বিশেষ ফাংশন • সৃজক ফাংশন • উপবৃত্তীয় ফাংশন • গামা ফাংশন • অধিজ্যামিতিক ফাংশন • গোলকীয় ফাংশন • সম্মিলিত অধিজ্যামিতিক ফাংশন • বেসেল ফাংশন • উপগোলকীয় ফাংশন • মাতিও ফাংশন
সাংখ্যিক বিশ্লেষণ	সাংখ্যিক পদ্ধতি • অন্তঃপাতন • ত্রুটি বিশ্লেষণ • আইগেনমানের সাংখ্যিক গণনা • সাংখ্যিক যোগজীকরণ • অ্যানালগ গণনা • ফাংশনের মূল্যায়ন
কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং গুচ্ছবিন্যাস তত্ত্ব	স্বয়ংক্রিয়ক • কম্পিউটার • কোডিং তত্ত্ব • সাইবারনেটিক্‌স • দৈব সংখ্যা • সিমুলাশন • উপাত্ত প্রক্রিয়াকরণ • জীববিজ্ঞানে ব্যবহৃত গাণিতিক মডেলসমূহ • গণনার জটিলতা • গুচ্ছবিন্যাস তত্ত্ব • লাতিন বর্গ • গ্রাফ তত্ত্ব
সম্ভাবনা তত্ত্ব	সম্ভাবনা তত্ত্ব • সম্ভাবনা পরিমাপ • সম্ভাবনা তত্ত্বের সীমা উপপাদ্য • সম্ভাবনাযুক্ত প্রক্রিয়া • মার্কভ প্রক্রিয়া • মার্কভ শৃঙ্খল • ব্রাউনীয় চলন • ব্যাপন প্রক্রিয়া • যোগাত্মক প্রক্রিয়া • শাখায়ন প্রক্রিয়া • মার্টিংগেল • স্থিতিশীল প্রক্রিয়া • গাউসীয় প্রক্রিয়া • সম্ভাবনাযুক্ত অন্তরক সমীকরণ • আর্গডিক তত্ত্ব • সম্ভাবনাযুক্ত নিয়ন্ত্রণ • সম্ভাবনাযুক্ত শোধন • পরিসংখ্যানিক বলবিজ্ঞানের সম্ভাবনাভিত্তিক পদ্ধতি
পরিসংখ্যান	পরিসংখ্যানিক উপাত্ত বিশ্লেষণ • পরিসংখ্যানিক অনু্মান • পরিসংখ্যা • নমুনায়ন বিন্যাস • পরিসংখ্যানিক মডেল • পরিসংখ্যানিক সিদ্ধান্ত ফাংশন • পরিসংখ্যানিক মূল্যায়ন • পরিসংখ্যানিক অনুকল্প পরীক্ষণ • বহুচলকীয় বিশ্লেষণ • রোবাস্ট পদ্ধতি • অপরামিতিক পদ্ধতি • সময় ধারা বিশ্লেষণ • পরীক্ষাসমূহের ডিজাইন • নমুনা জরিপ • পরিসংখ্যানিক মান নিয়ন্ত্রণ • অর্থমিতি • জীবমিতি • মনোমিতি • ইন্সুরেন্স গণিত
গাণিতিক প্রোগ্রামিং এবং অপারেশন গবেষণা	গাণিতিক প্রোগ্রামিং • যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামিং • দ্বিঘাত প্রোগ্রামিং • অ-যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামিং • নেটওয়ার্ক প্রবাহ সমস্যা • পূর্ণ সংখ্যা প্রোগ্রামিং • সম্ভাবনাযুক্ত প্রোগ্রামিং • গতিশীল প্রোগ্রামিং • ক্রীড়া তত্ত্ব • অন্তরক ক্রীড়া • নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব • তথ্য তত্ত্ব • অপারেশন গবেষণা • মজুতভাণ্ডার নিয়ন্ত্রণ • তফসিলীকরণ ও উৎপাদন পরিকল্পনা

বিষয়শ্রেণী: গণিত

We provide Linux to the World

নির্ণায়ক

উইকিপিডিয়া, মুক্ত বিশ্বকোষ থেকে

সূচিপত্র

[সম্পাদনা] উল্লম্ব বার

[সম্পাদনা] ২X২ মেট্রিক্সের নির্ণায়ক

[সম্পাদনা] ৩X৩ মেট্রিক্সের নির্ণায়কসমূহ

[সম্পাদনা] উদাহরণ

Views

পরিভ্রমন

অনুসন্ধান

অন্যান্য ভাষাসমূহ