辛群

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在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為 Sp(2n,F) 與 Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

[编辑] Sp(2n, F)

域 F 上次數為 2n 的辛群是由 2n 階辛矩陣在矩陣乘法下構成的群，記為 Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是 SL(2n,F) 的子群。

抽象而言，辛群可定義為 F 上一個 2n 維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間 V 產生的辛群記為 Sp(V)。

當 n=1，有 Sp(2,F)=SL(2,F)，當 n>1 時，Sp(2n,F) 是 SL(2n,F) 的真子群。

通常將域 F 取為實數域 $\mathbb{R}$ 、複數域 $\mathbb{C}$ 或非阿基米德局部域，如p進數域 $\mathbb{Q}_p$ 。此時辛群 Sp(2n,F) 是維度等於 $n (2 n + 1)$ 的連通代數群。 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$ 是單連通的，而 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ 的基本群則同構於 $\mathbb{Z}$ 。

$Sp(2 n, F)$ 的李代數可以刻劃為滿足下列條件的 2n 階方陣 $A$ ：

Ω A + A T Ω = 0

其中 $A T$ 表示 $A$ 的轉置矩陣，而 $Ω$ 是下述反對稱矩陣

$\Omega = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{pmatrix}$

[编辑] Sp(n)

緊辛群 $Sp(n)$ 定義為 $H n$ （ $\mathbb{H}$ 表四元數）上保持標準埃爾米特形式

$\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n$

之可逆線性變換。換言之， $Sp(n)$ 即四元數上的酉群 $\mathrm{U}(n,\mathbb{H})$ 。有時此群也被稱為超酉群。 $Sp(1)$ 即單位四元數構成之群，拓樸上同胚於三維球 $\mathbb{S}^3$ 。

$Sp(n)$ 並不同構於之前定義的 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ 。下節將解釋其間的聯繫。

$Sp(n)$ 是 $n (2 n + 1)$ 維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足

$Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{C})$

其李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成

$A+A^{\dagger} = 0$

其中 $A^\dagger$ 是 $A$ 的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

[编辑] 辛群之間的關係

以上定義之 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$ 與 $Sp(n)$ 之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作 $C n$ 。此李代數也就是複李群 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$ 之李代數，記作 $\mathrm{sp}(2n,\mathbb{C})$ 。它有兩個不同的實形式：