證明22/7大於π

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人們經常使用 ${22 \over 7}$ 這個有理數作為圓周率π的丢番圖逼近。在π的連分數表達中， ${22 \over 7}$ 是它的一個漸近分數。從這兩個數字的小數形式可見 ${22 \over 7}$ 是大於π的：

$\frac{22}{7} \approx 3.142857\dots\,$

$\pi \approx 3.141592\dots\,$

這個近似值從古代就有人使用。縱使阿基米德並非這個近似值的始創者，但他就證明了 ${22 \over 7}$ 高估了圓周率。他以 ${22 \over 7}$ 大於外切正96邊形的周界：該圓直徑之比作證明。

這個近似值常被稱為「約率」^[1]，除這以外，常用的近似值還有同是由祖沖之在5世紀提出的密率： ${355 \over 113}$ 。

以下是另一個 ${22 \over 7}$ > π的證明，所用到的只是微積分的基本技巧。它本來只是用於顯示可以用有系統的方法計算π的值，而非證明 ${22 \over 7}$ 大於π。它比起一些基本證明更容易理解^[2]。它的優雅是由於它和丟番圖近似值的關連。路卡斯稱這條公式為「其中一個估計π值的最美麗結果」^[3]Havil以這個結果終結了有關以連分數估計的討論，說它在該範疇是「不得不提及」的^[4]。

[编辑] 概念

$0 < \int_0^1 \frac{x^4 (1 - x) ^4}{1 + x^2} \,dx= \frac{22}{7} - \pi$

故此²²⁄₇ > π。

[编辑] 詳情

被積函數是一個分數，其分子和分母皆是非負函數，所以該積分是正數。由於被積函數是正數，由0至1的定積分也大於0。

以下就證明該積分實際上與²²⁄₇的關係：

$0\,$	$<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx$
	$=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx$	展開分子的數項
	$=\int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx$	多項式長除法
	$=\left. \frac{x^7}{7} - \frac{2x^6}{3} + x^5 - \frac{4x^3}{3} + 4x - 4\arctan{x}\,\right\|_0^1$	定積分
	$=\frac{1}{7} - \frac{2}{3} + 1 - \frac{4}{3} + 4 - \pi\$	把結果代入1和0，然後相減。注意：arctan(1) = π/4
	$=\frac{22}{7} - \pi.$	加數

[编辑] 布肯南數學比賽中的出現

求取這積分的值是1968年布肯南數學比賽的第一個題目^[5]：

A-1. Prove

$\frac{22}{7} -\pi=\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx$

雖然這比起其他題目簡單得多，但這比賽中經常有一些朦朧不清的難題，發現原來是很熟悉的東西。

[编辑] 上限和下限

達賽爾（1944）指出，只要把1代入分母中的x，可輕易取得積分的下限；把0代入分母中的x，可取得積分的上限^[6]：

${1 \over 1260} < \int_0^1 {x^4 (1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx < {1 \over 630}.$

結果得出

${22 \over 7} - {1 \over 630} < \pi < {22 \over 7} - {1 \over 1260}.$

也許這是計算π值至小數後3位的最快和最基本的方法。另參見達賽爾（1971）^[7].

[编辑] 參考資料

^ 韩雪涛．zh-hans:“;zh-hant:「数学科普：常识性谬误流传令人忧zh-hans:”;zh-hant:」，中华读书报，2001年 8月29日．于2006年10月6日查阅．
雖然它又被為「疏率」，但有數學家指出這名稱不適合。
^ 比較萊特和哈代，第22章中的質數定理的基本證明
（1938）《數論介紹》第5版，美國牛津大學出版社（1980年4月17日）ISBN 0198531710
^ Lucas, Stephen. "Integral proofs that 355/113 > π", Australian Mathematical Society Gazette，32冊，4號，263–266頁
這著作開首便道這是「其中一個估計π值的最美麗結果」。
^ Havil, Julian（2003）．Gamma: Exploring Euler's Constant．Princeton University Press，96頁．ISBN 0-691-09983-9．
^ （1985）“The Twenty-Ninth William Lowell Putnam Mathematical Competition: December 7, 1968”，edited by Gerald L. Alexanderson, Leonard F. Klosinski, Loren C. Larson 编：The William Lowell Putnam Mathematical Competition problems and solutions: 1965-1984．Washington, DC：The Mathematical Association of America，p. 9．ISBN 0883854414．
^ 達賽爾, D. P. (1944). "On 22/7", Journal of the London Mathematical Society 19, 133–134頁
^ Dalzell, D. P. (1971). "On 22/7 and 355/113", Eureka; the Archimedeans' Journal, 34冊, pages 10–13頁.

[编辑] 相關條目

[编辑] 外部連結

1968年布肯南數學比賽中，這證明作為第一道題目。
Pi的故事，Jonathan Borwein著；第5頁出現這積分

分类: 數學推理 | 圓周率

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