ปริพันธ์
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส |
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส | ฟังก์ชัน | ลิมิตของฟังก์ชัน | ความต่อเนื่อง | แคลคูลัสกับพหุนาม | ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย | แคลคูลัสเวกเตอร์ | แคลคูลัสเทนเซอร์ |
อนุพันธ์ |
กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ |
ปริพันธ์ |
การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า | การหาปริพันธ์เป็นส่วน | การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ | การหาปริพันธ์แบบจาน | การหาปริพันธ์ด้วยเชลล์ | การหาปริพันธ์แบบต่าง ๆ |
ปริพันธ์ (integral) คือ ฟังก์ชันที่ใช้หา พื้นที่, มวล, ปริมาตร หรือผลรวมต่างๆ. เราอาจหาปริพันธ์ได้หลายวิธี แต่ไม่ว่าหาด้วยวิธีใด ก็จะได้ผลลัพธ์เท่ากันเสมอ. การหาปริพันธ์ (integration) เป็นกระบวนการที่ต่างจากการหาอนุพันธ์ แต่ก็มีความเกี่ยวข้องกัน
"ปริพันธ์" ต่างจากปฏิยานุพันธ์ แต่ทั้งสองมีความสัมพันธ์ที่ใกล้เคียงกัน ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสจะอธิบายว่าทำไมปริพันธ์กับปฏิยานุพันธ์ถึงเกี่ยวข้องกัน. ปริพันธ์แบบปฏิยานุพันธ์ คือ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (indefinite integral) แต่ปริพันธ์ที่กล่าวถึงในบทความนี้ จะเป็นปริพันธ์จำกัดเขต (definite integral)
ปริพันธ์ของฟังก์ชันจำนวนจริงบวกที่ต่อเนื่อง และมีตัวแปร x อยู่ระหว่างจุด a กับจุด b ก็คือ พื้นที่ที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้น x=a, x=b, แกน x และเส้นโค้ง f(x) ดังรูป. หรือจะกล่าวให้เป็นทางการขึ้นว่า ถ้าเราให้
แล้วปริพันธ์ของฟังก์ชัน f ระหว่าง a กับ b ก็คือการวัดขนาดของ S นั่นเอง
ไลบ์นิซ ได้ใช้เครื่องหมาย s ยาว แทนสัญลักษณ์ของปริพันธ์ ปริพันธ์ในย่อหน้าที่แล้วจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ . โดยสัญลักษณ์ ∫ หมายถึงการหาปริพันธ์, a และ b หมายถึงขอบเขตของช่วงที่เราจะหา, f(x) คือฟังก์ชันที่เราต้องการหาปริพันธ์ และ dx แทนตัวแปรที่จะหาปริพันธ์ ซึ่งในอดีต dx จะแทน ปริมาณที่เล็กมากๆ และ s ยาว นั้นมาจากคำว่า "sum" ซึ่งแปลว่าผลบวก
ตัวอย่างเช่น ให้ f(x) = 3 ปริพันธ์ของ 0 ถึง 10 ก็คือพื้นที่ที่ล้อมด้วยเส้น x = 0, x = 10, y = 0, และ y = 3 ดังนั้น พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปนี้จึงเท่ากับความยาวคูณความสูง ค่าของปริพันธ์จึงเท่ากับ 30
[แก้] การหาปริพันธ์
วิธีหาปริพันธ์ที่พื้นฐานที่สุด ก็คือใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสในการหา ซึ่งมีขั้นตอนดังนี้
- กำหนดฟังก์ชัน f(x) และช่วง [a, b]
- หาปฏิยานุพันธ์ของ f ก็คือ หาฟังก์ชัน F ที่ F' เท่ากับ f
- จากทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส จะได้ว่า
- ค่าของปริพันธ์คือ F(b) − F(a)
สังเกตว่าปริพันธ์ไม่ใช่ปฏิยานุพันธ์ แต่ปฏิยานุพันธ์นำมาใช้หาปริพันธ์จำกัดเขตได้
ขั้นตอนที่ยากก็คือขั้นที่หาปฏิยานุพันธ์ของ f แต่เราอาจจะใช้เทคนิคบางอย่างช่วยหาปริพันธ์ได้ เทคนิคเหล่านั้นได้แก่
- การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
- การหาปริพันธ์เป็นส่วน
- การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- การหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนย่อย
ปริพันธ์ เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น ข้อมูลเกี่ยวกับ ปริพันธ์ ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ หรือ ดูเพิ่มที่ สถานีย่อย:คณิตศาสตร์ |