Gemiddelde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de statistiek komt het begrip gemiddelde veelvuldig voor. We moeten hierbij onderscheiden of het om de gehele populatie gaat of om een steekproef daaruit. In de volksmond wordt gemiddelde gebruikt als synoniem voor rekenkundig gemiddelde.

[bewerk] Populatiegemiddelde

In de statistiek wordt het populatiegemiddelde van een kenmerkende grootheid vaak aangeduid met de Griekse letter μ. Voor een eindige populatie is het populatiegemiddelde juist het rekenkundig gemiddelde van alle populatiewaarden.

Bij aselecte trekking van een waarde X van die grootheid uit de populatie, is de kansverdeling van X juist de populatieverdeling, met als gevolg dat de verwachtingswaarde van X juist gelijk is aan het populatiegemiddelde.

Heeft X een discrete verdeling met kansfunctie $p X (x)$ , dan is de verwachtingswaarde gedefinieerd door:

$\mu_X = \sum x.p_{X}(x).$

Bij een continue verdeling met kansdichtheid $f X (x)$ , is de verwachtingswaarde gedefinieerd door:

$\mu_X = \int x.f_{X}(x) dx.$

Het is echter vaak onmogelijk om het populatiegemiddelde te bepalen. Als we bijvoorbeeld geïnteresseerd zijn in het gemiddelde gewicht van de Sumatraanse neushoorn, zouden we dat kunnen bepalen, omdat er nog maar zo'n 250 van zijn. Bij muskieten ligt dat echter heel anders. Er zijn er gewoon te veel om ze allemaal te kunnen onderzoeken. In zo'n geval nemen statistici meestal hun toevlucht tot een steekproef om door de berekening van het steekproefgemiddelde een schatting te krijgen van het populatiegemiddelde.

[bewerk] Steekproefgemiddelde

Het steekproefgemiddelde is het (rekenkundige) gemiddelde van de steekproef. Als de steekproefuitkomst bestaat uit de n elementen $x_1,\dots,x_n$ , dan is het steekproefgemiddelde het getal:

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.$

In de theorie is men niet zozeer geïnteresseerd in de uitkomsten, maar in het stochastisch gedrag van de steekproef. De steekproef bestaat uit de n toevalsvariabelen $X_1,\dots,X_n$ en het steekproefgemiddelde is de toevalsvariabele:

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.$

Het steekproefgemiddelde $\bar{x}$ wordt vaak gebruikt om iets te zeggen over het populatiegemiddelde μ. Het wordt dan opgevat als een realisatie van het steekproefgemiddelde $\bar{X}$ als toevalsvariabele. Daar zitten echter een paar haken en ogen aan. Als de steekproef aselect was, is het steekproefgemiddelde een goede benadering (schatting) van het populatiegemiddelde. Hoe goed deze benadering is, hangt nog van vele factoren af, zoals de steekproefomvang (zie bv. de wetten van de grote aantallen) en de onderliggende verdeling. Er zijn zelfs verdelingen die geen populatiegemiddelde bezitten, omdat de bovenstaande integraal niet bestaat.

Gelukkig kunnen we vaak veronderstellen dat de onderliggende verdeling normaal is. Dan speelt naast de verwachtingswaarde alleen de standaardafwijking een rol, waarvan we de waarde ook uit de steekproef kunnen schatten.

[bewerk] Soorten gemiddelde

Onderwerpen uit de beschrijvende statistiek
Gemiddelden: Rekenkundig gemiddelde \| Meetkundig gemiddelde \| Harmonisch gemiddelde \| Kwadratisch gemiddelde \| Gewogen gemiddelde \| Getrunceerd gemiddelde Andere liggingsmaten: Mediaan \| Modus \| Kwartiel \| Percentiel Spreidingsmaten: Variantie \| Standaarddeviatie \| Variatiecoëfficiënt \| Interkwartielafstand Grafische beschrijvingen: Histogram \| Boxplot Overig: Moment \| Scheefheid \| Kurtosis

Onderwerpen uit de beschrijvende statistiek