-1

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-2 ← -1 → 0
二進法	-1
八進法	-1
十二進法	-1
十六進法	-1
二十進法	-1
漢数字	マイナス一
大字	マイナス壱
算木
表・話・編・歴

-1 （マイナスいち）とは、最後の負の整数で、-2 の次で 0 の前である。（0 からマイナス無限大へ数えれば、最初の負の数で、0 の次で -2 の前である）

[編集] 性質

$- 1$ は負の整数の中で最も絶対値が小さい数である。また負の数の中で最大の奇数でもある。
$a \times (-1) = -a$ となる。このような場合 $a \times{}-1$ とは書かないのが一般的である（ $-1\times{}a$ という形ならばよい）。
-1 を2乗すると 1になる。これは

$0 = (1+(-1))\cdot (1+(-1))$ 　であり、これを分配法則にしたがって展開すると $0 = (1\cdot 1) + ((-1)\cdot 1) + (1\cdot (-1)) + ((-1)\cdot (-1)) = 1 + (-1) + (-1) + ((-1)\cdot (-1)) = -1 + ((-1)\cdot (-1))$ ⇔ $((-1)\cdot (-1)) = 1$ 　であることから示される。よって(-1)² = 1 であり、したがって -1 は 1 の平方根のうちのひとつ。一般に -1 を偶数乗すると 1 になる　(-1)²ⁿ = 1 。よって -1 は全ての 1 の2n乗根のひとつである（n>0）。

-1 の平方根のうち一つを虚数単位 $i$ と呼ぶ。-1 の平方根は i と − i の二つである。すなわち $i$ ² = ( - $i$ ) ² = -1
- ただし、 $-1 = \sqrt{-1 - 2 \sqrt{-1 - 2 \sqrt{-1 - 2 \sqrt{\ldots}}}}$
$-1 = \cos 180^\circ + \mathit{i}\sin180^\circ = \cos\pi + \mathit{i}\sin\pi$ と単位円周上で $θ = π$ rad の点として表すこともできる。
自然数の -1 乗の総和は収束せず、正の無限大に発散する（→ゼータ関数）。
1/(-1) = -1　負の整数の逆数が整数になるのは 1/-1 のときのみである。
(-1)^-1 = -1　x が負の数のとき x^x が整数になるのは x = -1 のときのみ。
逆数を x^-1 で表すこともある（ $x\ne{}0$ ）。例えば3の逆数なら 1/3 = 3^-1 となる。一般に x ・x^-1 =x^-1 ・x= 1 であり、(x^-1)^-1 = x である。
逆関数を f ^-1(x) で表すこともある。例えば y = cos x の逆関数なら x = cos y ⇔ y = cos^-1 x となる。一般にf (f ^-1(x)) = f ^-1 (f(x)) = x であり、((f ^-1)^-1(x)) = f(x) である。
逆行列を A^-1 で表すこともある。一般にA・A^-1 = A^-1・A = E であり、(A ^-1)^-1 = A である。
グラフ上で直交する2本の直線の傾きを掛け合わせると -1 になる。
kⁿ - 1 = (k-1)(k^n-1+k^n-2+…+k²+k+1) と因数分解できる（k, nは整数で k, $n \geq 2$ ）。 $k \geq 3$ のとき kⁿ - 1 は k - 1 を約数にもつ合成数。したがって k = 2 のときのみ kⁿ - 1 は素数になる可能性がある（→メルセンヌ素数）。
異なる n 個のものを円形に配置する並べ方は ( n - 1)!通りである（円順列）。
-1!! = 1　-1の二重階乗は1とされる。
三角関数では $sin x$ は $x = 3π / 2$ のとき最小値 -1 をとる。また $cos x$ は $x = π$ のとき最小値 -1 をとる（ $0\leq x < 2\pi$ ）。
x^-1 の不定積分は　 $\int x^{-1} dx = \ln{x} + C$ 　（Cは積分定数）となる。
xⁿ をxで微分すると　 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ 　となる。
1でない正の実数 r の累乗数 rⁿ の和は　 $\sum_{k=0}^{n}r^k = \frac{r^{n+1}-1}{r-1}$ 　となる。
$e i π = - 1$ 　オイラーの公式と呼ばれるもので $e i π + 1 = 0$ とも書かれる。数学で最も基本的な定数である、e , $i$ , $π$ , 1 , 0 がこのような単純な関係式で表現できるのは非常に興味深く、この式に美しさすら感じるという数学者も少なくない。