比較判定法

比較判定法(ひかくはんていほう、comparison test) とは、実数や複素数を項にもつ級数が、収束するか発散するかを判定する方法である。これは、判定の対象となる級数の項を、収束性が判明している級数の項と比較することによって、収束性を判断する。比較判定法には、2 つの種類が存在する。

[編集] 第一種比較判定法

第一種比較判定法とは、次のようなものである。もし、級数

$\sum_{n=1}^\infty b_n$

が絶対収束し、n に依存しない実数 C が存在して

$|a_n|\le C|b_n|$

が十分大きい n に対して成立するならば、級数

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

は絶対収束する。このとき、b が a を「抑える(dominate)」という。もし、級数 Σ|b_n| が発散し、

$|a_n|\ge |b_n|$

が十分大きい n に対して成立するならば、級数 Σ|a_n| は絶対収束しない（ただし、例えば a_n の符号が交互に入れ替わるような場合は、条件収束することがある）。

第二種比較判定法とは、次のようなものである。もし、級数

$\sum_{n=1}^\infty b_n$

が絶対収束し、n に依存しない実数 C が存在して

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le C\,\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|$

が十分大きい n に対して成立するならば、級数

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

は絶対収束する。もし、級数 Σ|b_n| が発散し、

$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|$

これは、ダランベールの収束判定法に基づくものである。

Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.1) ISBN 0486601536

Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.34) ISBN 0521588073