条件付き確率

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条件付き確率（じょうけんつきかくりつ、Conditional probability）とは、ある事象B が起こるという条件下での別の事象A の確率をいい、これをP(A|B)と書く。

[編集] 関連する概念とそれらの関係

同時確率または結合確率（Joint probability）とは、2つの事象がどちらも起こる確率をいう（時間的に同時という意味ではない）。A とB の同時確率を $P(A \cap B)$ または $P(A, \ B)$ と書く。

周辺確率（Marginal probability）とは、他の事象に関わりなく1つの事象だけの確率をいう（普通の条件なしの確率と等しい）。周辺確率は同時確率を不要な事象に関して合計（または一般に積分）すれば得られる。A の周辺確率はP(A)、B の周辺確率はP(B)と書く。

ただし以上の2つの事象A とB の間には時間関係または因果関係はなくてもよいし、どんな関係であってもよいことに注意。例えばベイズ推定で用いられる事後確率とは、ある根拠を条件として、その原因となった（時間的にも以前の）事象を推測した確率をいう。

確率に条件を付けるということは、別の（あるいは新たな）情報を考慮して確率を改訂することであり、数学的にはベイズの定理で示される。

[編集] 定義

A およびB を事象とし、P(B) > 0 とすると、B におけるA の条件付き確率は

$P(A\mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

あるいは

$P(A \cap B)=P(A\mid B) P(B)$

により定義される。

[編集] 独立性

2つのランダムな事象A とB は

$P(A \cap B) \ = \ P(A) P(B)$

のとき、またそのときに限り独立である。あるいは独立な事象A と B については

$P(A|B) \ = \ P(A)$

かつ

$P(B|A) \ = \ P(B)$

である。言い換えれば、A とB が独立ならば条件B におけるA の条件付き確率はA 単独の確率に等しい。同様に条件A におけるB の条件付き確率はB 単独の確率に等しい。

[編集] 排反性

2つの事象A とB は、

$P(A) \ne 0$

かつ

$P(B) \ne 0$

である限りにおいて、

$P(A \cap B) = 0$

のとき、またそのときに限り排反的である（A とB は排反事象という）。従って

$P(A\mid B) = 0$

で

$P(B\mid A) = 0$

である。言い換えると、B が起こるという条件でA の起こる確率はゼロであり、またA が起こるという条件でB の起こる確率はゼロである。

[編集] その他

ある事象 $B$ に対して $P (B) > 0$ ならば、すべての事象 $A$ に対して、 $Q (A) = P (A | B)$ で定義される関数 $Q$ は確率測度である。
$P (B) = 0$ ならば、 $P (A | B)$ は定義されない。
条件付き確率は決定木やベン図によりわかりやすく表示できる。

カテゴリ: 確率論 | 数学に関する記事

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