星型正多面体
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星型正多面体は、ドイツの数学者ヨハネス・ケプラーが最初に発見した、各面が互いに交差する正多面体である。ケプラー・ポアンソの立体と呼ばれることもある。これらは正多面体を星型化することによって作ることができる。
すべての面が同一の正多角形で構成されている立体である正多面体は5つしか知られていなかったが、1619年にケプラーは正十二面体と正二十面体の辺を星型化することにより、2つの星型正多面体を発見した(小星型十二面体と大星型十二面体)。1809年にポアンソがその双対多面体である大十二面体と大二十面体の2種類を発見した。そして1811年に星型正多面体は全部でこの4種類ですべてということがオーギュスタン=ルイ・コーシーによって証明された。それで、小星型十二面体と大星型十二面体をケプラーの多面体、大十二面体と大二十面体をポアンソの多面体ということもある。
名前 | 画像 | 構成面 | 辺 | 頂点 | 頂点形状 | シュレーフリの記号 | ワイソフ記号 | 双対 | 枠 | 芯 | 密度 |
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小星型十二面体 | 星型五角形 12枚 | 30 | 12 | 5/2,5/2,5/2,5/2,5/2 | {5/2,5} | 2 5/2 | 大十二面体 | 正二十面体 | 正十二面体 | 3 | |
大十二面体 | 正五角形 12枚 | 30 | 12 | (5,5,5,5,5)/2 | {5,5/2} | 5 2 | 小星型十二面体 | 正二十面体 | 正十二面体 | 3 | |
大星型十二面体 | 星型五角形 12枚 | 30 | 20 | 5/2,5/2,5/2 | {5/2,3} | 2 5/2 | 大二十面体 | 正十二面体 | 正十二面体 | 7 | |
大二十面体 | 正三角形 20枚 | 30 | 12 | (3,3,3,3,3)/2 | {3,5/2} | 3 2 | 大星型十二面体 | 正二十面体 | 正二十面体 | 7 |
このうち小星型十二面体と大十二面体はオイラーの多面体定理がなりたたない(12-30+12=-6)。このため、これらは4つの穴が開いた立体とみなすことができる。
[編集] 関連項目
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正多面体 | 正四面体 • 正六面体 • 正八面体 • 正十二面体 • 正二十面体 | |
半正多面体 | 切頂四面体 • 切頂六面体 • 切頂八面体 • 切頂十二面体 • 切頂二十面体 • 立方八面体 • 二十・十二面体 • 斜方立方八面体 • 斜方二十・十二面体 • 斜方切頂立方八面体 • 斜方切頂二十・十二面体 • 変形立方体 • 変形十二面体 | |
星型正多面体 | 小星型十二面体 • 大十二面体 • 大星型十二面体 • 大二十面体 | |
アルキメデス双対 | 三方四面体 • 三方八面体 • 四方六面体 • 三方二十面体 • 五方十二面体 • 菱形十二面体 • 菱形三十面体 • 凧形二十四面体 • 凧形六十面体 • 六方八面体 • 六方二十面体 • 五角二十四面体 • 五角六十面体 | |
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ジョンソンの立体 |
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