完全トーティエント数

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完全トーティエント数（かんぜん-すう、英:perfect totient number）は自然数で、以下の等式を満たす数nである。

$n = \sum_{i = 1}^{c + 1} \varphi^i(n)$

$\varphi^i(n)=\left\{\begin{matrix}\varphi(n)&\mbox{ if } i=1\\ \varphi(\varphi^{i-1}(n))&\mbox{ otherwise}\end{matrix}\right.$

ここでφはオイラーのトーティエント関数である。例えば327は φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ(2) = 1 というように次々とφ関数の値を計算し、それらの総和が 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327 と元の数に等しくなるので完全トーティエント数である。一般に完全トーティエント数nは以下の式を満たす。

$\displaystyle\varphi^c(n)=2$

完全トーティエント数は無数にあり、そのうち最小の数は3である。完全トーティエント数を小さい順に列記すると

3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, …

[編集] 性質

ほとんどの完全トーティエント数は3の倍数であり、3の倍数でない完全トーティエント数のうち最小の数は4375である。特に3の累乗数(3,9,27,81,243,729,2187,…)は全て完全トーティエント数である。これは3の累乗数 3^k が

$\displaystyle\varphi(3^k) = \varphi(2\times 3^k) = 2\times 3^{k-1}$

を満たすことから証明できる。

Venkataramanは1975年に素数pが p=4×3^k+1 の形で表わされるとき、3pが完全トーティエント数になることを発見した。より一般的に p≡1(mod 4) を満たす素数pを3倍した数3pは完全トーティエント数になる（Mohan,Suryanarayana 1982）。ただしこの形をした3pの全てが完全トーティエント数になるわけではない。例えばp=17の場合 p≡1(mod 4) を満たし、3p=51 となるが51は完全トーティエント数ではない。