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シンプレクティック簡約化 - Wikipedia

シンプレクティック簡約化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

シンプレクティック簡約化とは、マースデンとワインシュタインによって示された「シンプレティック多様体の自由度低減定理」のこと。 これは解析力学におけるネーターの定理の一般化であるともみられる。

[編集] 簡約化 (Weinstein and Marsden)

\, (M,\omega) \,をシンプレクティック多様体とする。 また、\, G \,をリー群とし、Ｍに作用しているとする：

\, \mathrm{L}_{g} : M \to M ; x \to g\cdot x, \,\,\,\, g\in G. \,

さらに、このＧによる作用はシンプレクティック形式\, \omega \,を保つ、 すなわち、\, L_{g}^{*}\omega = \omega \,であるとする。

\, \mathfrak{g} \,でＧのリー代数を表わし、 \, \mathfrak{g}^* \,でその双対空間を表わすことにする。 リー群Ｇのシンプレクティック多様体Ｍへの作用に関する運動量写像 J : M \to \mathfrak{g}^* \,とは

dJ_{x}(X)(\xi) = \omega_{x}(\xi_{M}|_{x}, X), \,\,\,\,\, X \in T_{x}M \,

を満たすものである。 ここで、\, \xi \in \mathfrak{g} \,であり、 \, \xi_{M} \,は\, \xi \,に関するＭ上の基本ベクトル場である。 また、\, dJ : TM \to T\mathfrak{g}^* \,はＪの微分写像である。


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