ウェーブレット

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ウェーブレット(英語：wavelet)、ウェーブレット解析、ウェーブレット変換とは、マザーウェーブレットと呼ばれる有限長(もしくは速やかに振動が減衰する)関数によって、信号を表現する手法である。マザーウェーブレットは、入力信号に適合するように拡大縮小(スケール)・平行移動(シフト)する。

In mathematics, wavelets, wavelet analysis, and the wavelet transform refers to the representation of a signal in terms of a finite length or fast decaying oscillating waveform (known as the mother wavelet). This waveform is scaled and translated to match the input signal. In formal terms, this representation is a wavelet series, which is the coordinate representation of a square integrable function with respect to a complete, orthonormal set of basis functions for the Hilbert space of square integrable functions.

Note that the wavelets in the JPEG 2000 standard are biorthogonal wavelets, that is, the coordinates in the wavelet series are computed with a different, dual set of basis functions.

[編集] 概要

ウェーブレットという言葉は、MorletとGrossmanによって1980年代初頭につくられた。彼らはフランス語で"小さい波"を意味するondeletteという言葉を用いた。少し後に英語に翻訳され、"onde"は"wave"となり"wavelet"となった。

ウェーブレット変換は、大きく離散ウェーブレット変換(DWT)と連続ウェーブレット変換(CWT)に分類される。これらの違いは、CWTでは可能な全てのスケールとシフトが用いられるのに対して、DWTでは一部分のみが使われる。

[編集] ウェーブレット理論の応用

ウェーブレット理論は、いくつかの異なる目的で応用される。全てのウェーブレット変換は、時間周波数表現であると考えられるが、調和解析とも関係がある。

多くの場合に有用である離散ウェーブレット変換は、有限インパルス応答(FIR)フィルタで構成されるフィルタバンクである。

連続ウェーブレットは、ハイゼンベルグの不確定性原理に支配されている。同様に、離散ウェーブレットにおいても不確定性原理は考慮されなければならない。

[編集] ウェーブレット理論のアウトライン

ウェーブレット変換は大きく３つに分類される。連続ウェーブレット変換、離散化されたウェーブレット変換、多重解像度解析によるウェーブレット変換である。

[編集] 連続ウェーブレット変換

連続ウェーブレット変換においては、有限なエネルギーを持った信号は、連続な周波数バンドの群（もしくは $L^2(\R)$ 関数空間の一部) として投影される。得られた周波数成分は、適切な積分によって元の信号を再構成することができる。

部分空間の群は、スケール1の部分空間を拡大縮小（スケール）して生成されたものである。この部分空間は、１つの関数すなわちマザーウェーブレット $\psi\in L^2(\R)$ をシフトすることによって生成される。一般的なマザーウェーブレットの例は以下のとおりである。

Meyer

Morlet

Mexican Hat

スケールaの部分空間は、以下の式で生成される。(これはベビーウェーブレットと呼ばれることがあるがあまり一般的ではない)

$\psi_{a,b} (t) = \frac1{\sqrt a }\psi \left( \frac{t - b}{a} \right)$

ただし、aは正の実数でありスケールを決定する。bは任意の実数でありシフトを決定する。(a,b)のペアは、 $\R_+\times \R$ の上半面において定義される。

関数xをスケールaの部分空間へ投影すると、以下の式で示される。

$x_a(t)=\int_\R WT_\phi\{x\}(a,b)\cdot\psi_{a,b}(t)\,db$

但し、WTはウェーブレット係数である。

$WT_\phi\{x\}(a,b)=\langle x,\psi_{a,b}\rangle=\int_\R x(t)\overline{\psi_{a,b}(t)}\,dt$ .

信号xの解析のためには、ウェーブレット係数をスカログラムにする。

[編集] 離散化したウェーブレット変換

全てのウェーブレット係数を使って信号を解析することは実用上不可能である．信号を対応するウェーブレット係数から再構成することは，上半面の離散部分集合さえ取り出せば十分可能だと思うだろう．その一つとして実数パラメータa>1，b>0によるアフィン系がある．対応する半面の離散部分集合は，全ての点 $(a^m, n\,a^m b)$ を含む（ $m,n\in\Z$ ）．対応するベビーウェーブレットは以下で与えられる．

ψ m, n (t) = a - m / 2 ψ(a - m t - n b)

式

$x(t)=\sum_{m\in\Z}\sum_{n\in\Z}\langle x,\,\psi_{m,n}\rangle\cdot\psi_{m,n}(t)$

による有限エネルギーを持つ任意の信号xの再構成のための十分条件は，関数群 $\{\psi_{m,n}:m,n\in\Z\}$ が $L^2(\R)$ のタイトフレームを形作ることである．

[編集] MRAによる離散ウェーブレット変換

In each instance of the discretised wavelet transform, there are only a finite number of wavelet coefficients for each bounded rectangular region in the upper halfplane. Still, each coefficient requires the evaluation of an integral. To avoid this numerical complexity one needs one auxiliary function, the father wavelet $\phi\in L^2(\R)$ . Further, one has to restrict a to be an integer number. A typical choice is a=2 and b=1. The most famous pair of father and mother wavelets is the Daubechies 4 tap wavelet.

D4 wavelet

From the mother and father wavelets one constructs the subspaces

$V_m=\operatorname{span}(\phi_{m,n}:n\in\Z)$ , where

φ m, n (t) = 2 - m / 2 φ(2 - m t - n)

and

$W_m=\operatorname{span}(\psi_{m,n}:n\in\Z)$ , where

ψ m, n (t) = 2 - m / 2 ψ(2 - m t - n)

From these one requires that the sequence

$\{0\}\subset\dots\subset V_1\subset V_0\subset V_{-1}\subset\dots\subset L^2(\R)$

forms a multiresolution analysis of $L^2(\R)$ and that the subspaces $\dots,W_1,W_0,W_{-1},\dots\dots$ are the orthogonal "differences" of the above sequence, that is, $W m$ ist the orthogonal complement of $V m$ inside the subspace $V m - 1$ . In analogy to the sampling theorem one may conclude that the space $V m$ with sampling distance $2 m$ more or less covers the frequency baseband from 0 to $2 - m - 1$ . As orthogonal complement, $W m$ roughly covers the band $[2 - m - 1,2 - m]$ .

From those inclusions and orthogonality relations follows the existence of sequences $h=\{h_n\}_{n\in\Z}$ and $g=\{g_n\}_{n\in\Z}$ that satisfy the identities

$h_n=\langle\phi_{0,0},\,\phi_{1,n}\rangle$ and $\phi(t)=\sqrt2 \sum_{n\in\Z} h_n\phi(2t-n)$

and

$g_n=\langle\psi_{0,0},\,\phi_{1,n}\rangle$ and $\psi(t)=\sqrt2 \sum_{n\in\Z} g_n\phi(2t-n)$ .

The second identity of the first pair is a refinement equation for the father wavelet $φ$ . Both pairs of identities form the basis for the algorithm of the fast wavelet transform.

[編集] マザーウェーブレット

For practical applications one prefers for efficiency reasons continuously differentiable functions with compact support as mother (prototype) wavelet (functions). However, to satisfy analytical requirements (in the continuous WT) and in general for theoretical reasons one chooses the wavelet functions from a subspace of the space $L^1(\R)\cap L^2(\R)$ . This is the space of measurable functions that are both absolutely and square integrable:

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|\, dt <\infty$ and $\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2 \, dt <\infty$ .

Being in this space ensures that one can formulate the conditions of zero mean and square norm one:

$\int_{-\infty}^{\infty} \psi (t)\, dt = 0$ is the condition for zero mean, and

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|^2\, dt = 1$ is the condition for square norm one.

For $ψ$ to be a wavelet for the continuous wavelet transform (see there for exact statement), the mother wavelet must satisfy an admissibility criterion (loosely speaking, a kind of half-differentiability) in order to get a stably invertible transform.

For the discrete wavelet transform, one needs at least the condition that the wavelet series is a representation of the identity in the space $L^2(\R)$ . Most constructions of discrete WT make use of the multiresolution analysis, which defines the wavelet by a scaling function. This scaling function itself is solution to a functional equation.

In most situations it is useful to restrict $ψ$ to be a continuous function with a higher number M of vanishing moments, i.e. for all integer m<M

$\int_{-\infty}^{\infty} t^m\,\psi (t)\, dt = 0$

Some example mother wavelets are:

Meyer

Morlet

Mexican Hat

The mother wavelet is scaled (or dilated) by a factor of $a$ and translated (or shifted) by a factor of $b$ to give (under Morlet's original formulation):

$\psi _{a,b} (t) = {1 \over {\sqrt a }}\psi \left( {{{t - b} \over a}} \right)$ .

For the continuous WT, the pair (a,b) varies over the full half-plane $\R_+\times\R$ ; for the discrete WT this pair varies over a discrete subset of it, which is also called affine group.

These functions are often incorrectly referred to as the basis functions of the (continuous) transform. In fact, as in the continuous Fourier transform, there is no basis in the continuous wavelet transform. Time-frequency interpretation uses a subtly different formulation (after Delprat).

[編集] フーリエ変換との比較

ウェーブレット変換は、三角関数の級数表現のフーリエ変換としばしば比較される。主な違いは、ウェーブレット変換は時間と周波数の両方の成分を局在化するが、標準的なフーリエ変換は周波数成分だけを局在化することである。短時間フーリエ変換も時間と周波数の両方を局在化できるが、時間周波数分解能に問題がある。一方、ウェーブレット変換ではしばしば多重解像度解析という、より良い表現が用いられる。

また、離散ウェーブレット変換の計算時間はO(N)であり、高速フーリエ変換のO(N log N)に比べて小さい(ここで、Nはデータの大きさである)。

[編集] ウェーブレットの定義

There are a number of ways of defining a wavelet (or a wavelet family).

[編集] スケーリングフィルター

The wavelet is entirely defined by the scaling filter g - a low-pass finite impulse response (FIR) filter of length 2N and sum 1. In biorthogonal wavelets, separate decomposition and reconstruction filters are defined.

For analysis the high pass filter is calculated as the QMF of the low pass, and reconstruction filters the time reverse of the decomposition.

Daubechies and Symlet wavelets can be defined by the scaling filter.

[編集] スケーリング関数

ウェーブレットは、ウェーブレット関数 $ψ(t)$ (マザーウェーブレット)とスケーリング関数 $φ(t)$ (ファザーウェーブレット)から定義される。

実際のところウェーブレット関数は帯域通過フィルターであり、それぞれの水準の半分の帯域幅でスケールされている。これによって、全てのスペクトルを扱うために無限の水準が必要となる問題が生じる。スケーリング関数を用いれば、最低限の水準で全てのスペクトルを扱うことができる。詳細な説明は[1]にある。

コンパクトサポートをもつウェーブレットでは、 $φ(t)$ は有限長であり、スケーリングフィルターgと同等である。

メイエのウェーブレットはスケーリング関数で定義することができる。

[編集] ウェーブレット関数

The wavelet only has a time domain representation as the wavelet function $ψ(t)$ .

Mexican hat wavelets can be defined by a wavelet function.

[編集] 応用

Generally, the DWT is used for source coding whereas the CWT is used for signal analysis. Consequently, the DWT is commonly used in engineering and computer science and the CWT is most often used in scientific research. Wavelet transforms are now being adopted for a vast number of different applications, often replacing the conventional Fourier transform. Many areas of physics have seen this paradigm shift, including molecular dynamics, ab initio calculations, astrophysics, density-matrix localisation, seismic geophysics, optics, turbulence and quantum mechanics. Other areas seeing this change have been image processing, blood-pressure, heart-rate and ECG analyses, DNA analysis, protein analysis, climatology, general signal processing, speech recognition, computer graphics and multifractal analysis. In computer vision and image processing, the notion of scale-space representation and Gaussian derivative operators is regarded as a canonical multi-scale representation.

ウェーブレットはデータ圧縮の分野でも用いられる。デジタル信号処理における他の時間-周波数変換と同様、ウェーブレット変換は(たとえば画像などの)圧縮されていないデータに対し適用でき、その後圧縮処理がなされることで、結果として効果的なデータ圧縮を実現できる。JPEG 2000はウェーブレットを利用した画像形式の一つである。ウェーブレットを利用したデータ圧縮についてはウェーブレット圧縮を参照されたい。

[編集] 歴史

ウェーブレットの発展は、20世紀初頭のHaarによるいくつかの断片的な考察に基づく。ウェーブレット理論における大きな貢献には、Goupillaud、Grossman、Morletによる現在連続ウェーブレット変換として知られる定式化(1982)に始まり、Strömbergによる離散ウェーブレット変換における初期研究(1983)、Daubechiesによるコンパクト台を持つ直交ウェーブレット(1988)、Mallatによる多重解像度解析に関する提案(1989)、Delpratによる連続ウェーブレット変換における時間-周波数変換(1991)、Newlandによるハーモニックウェーブレット変換など、枚挙にいとまがない。

[編集] 年表

1909年: 最初のウェーブレット (HaarによるHaarウェーブレット)
1950年代以降: Jean Morlet , Alex Grossman
1980年代以降: Yves Meyer, Stéphane Mallat, Ingrid Daubechies, Ronald Coifman, Victor Wickerhauser

[編集] 様々なウェーブレット変換

There are a large number of wavelet transforms each suitable for different applications. For a full list see list of wavelet-related transforms but the common ones are listed below:

異なる用途に応じて、多くのウェーブレット変換が存在する。以下にその一例を列挙するが、すべてのウェーブレット変換についてのリストはウェーブレット変換の一覧を参照されたい。

連続ウェーブレット変換 (CWT)
離散ウェーブレット変換 (DWT)
高速ウェーブレット変換 (FWT)
Wavelet packet decomposition (WPD)
Stationary ウェーブレット変換 (SWT)

[編集] ウェーブレット一覧

[編集] 離散ウェーブレット

Beylkin (18)
Coiflet (6, 12, 18, 24, 30)
Daubechies wavelet (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)
Cohen-Daubechies-Feauveau wavelet (Sometimes referred to as CDF N/P or Daubechies biorthogonal wavelets)
Haar wavelet
Symmlet
Complex wavelet transform

[編集] 連続ウェーブレット

Mexican hat wavelet
Hermitian wavelet
Hermitian hat wavelet
Complex mexican hat wavelet
Morlet wavelet
Modified Morlet wavelet
Beta wavelet
Hilbert-Hermitian wavelet

[編集] 関連項目

Filter banks
Scale space
Ultra wideband radio- transmits wavelets.
short-time Fourier transform
chirplet transform
fractional Fourier transform

[編集] 参考文献

Paul S. Addison, The Illustrated Wavelet Transform Handbook, Institute of Physics, 2002, ISBN 0-7503-0692-0
Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0-89871-274-2
P. P. Vaidyanathan, Multirate Systems and Filter Banks, Prentice Hall, 1993, ISBN 0-13-605718-7
Mladen Victor Wickerhauser, Adapted Wavelet Analysis From Theory to Software, A K Peters Ltd, 1994, ISBN 1-56881-041-5
Gerald Kaiser, A Friendly Guide to Wavelets, Birkhauser, 1994, ISBN 0-8176-3711-7

[編集] 外部リンク

Wavelets made Simple
Wavelet Digest
Course on Wavelets given at UC Santa Barbara, 2004
Amaras Wavelet Page
Wavelet Posting Board
The Wavelet Tutorial by Polikar
OpenSource Wavelet C Code
An Introduction to Wavelets
Wavelets for Kids (PDF file) (introductory)
Link collection about wavelets
List of Wavelet resources, libraries and source codes
Wavelet forums (French) Wavelet forum (English)
"Biorthogonal sinc wavelets"
Gerald Kaiser's acoustic and electromagnetic wavelets
A really friendly guide to wavelets
Advanced Signal Processing Toolkit - Commercial software from National Instruments for wavelet-based analysis and processing in LabVIEW

カテゴリ: 翻訳中途 - 2007年1月 | 数値解析 | 信号処理 | ウェーブレット | 数学に関する記事

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