קבוצת קנטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, קבוצת קנטור היא קבוצה שנבנית בצורה האיטרטיבית הבאה: לוקחים קטע ישר, ומסירים ממנו את השליש האמצעי. מבצעים פעולה דומה בכל אחד משני הקטעים שנותרו, ונשארים עם ארבעה קטעים, שגם עליהם ממשיכים את התהליך, וכך הלאה עד אינסוף.

איור המציג את שבעת השלבים הראשונים בבניית קבוצת קנטור

קבוצה זו תוארה בידי המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1883. חשיבותה הרבה היא בתכונותיה המיוחדות, שסותרות את האינטואיציה ומציגות מעט ממורכבותו ומייחודו של האינסוף. תכונות אלה דחפו את קנטור לפתח את תורת הקבוצות. קרוב למאה שנים מאוחר יותר נמנתה קבוצת קנטור עם הקבוצות שעליהן ביסס בנואה מנדלברוט את רעיון הפרקטל.

קבוצת קנטור מחדדת את משמעותם של מושגי העוצמה והמידה, מושגים שהם הכללות מתמטיות למושגים "כמות איברים" ו"אורך" (בהתאמה), שהם שני מאפיינים המהווים מדד לגודלה של קבוצה. באופן אינטואיטיבי ניתן לצפות שככל שקבוצה ארוכה יותר יהיו בה יותר איברים, ובפרט שבקבוצה שאורכה 0 יהיו פחות אברים מאשר בקבוצה שאורכה 1 - אך אין הדבר כך. קבוצת קנטור היא בעלת מידה (אורך) אפס, אך יש בה אינספור איברים; למעשה מספר האברים שלה שווה למספר האברים בקטע המקורי כולו (ובפרט יש לה כל-כך הרבה איברים עד שלא ניתן לסדרם בסדרה).

מבחינה טופולוגית, קבוצת קנטור מאופיינת בכך שהיא המרחב המטרי הקומפקטי המושלם היחיד (עד כדי הומיאומורפיזם) שהוא לא קשיר לחלוטין. אחת התכונות הטופולוגיות החשובות של קבוצה זו היא שכל מרחב מטרי קומפקטי מהווה תמונה רציפה שלה.

[עריכה] בניית קבוצת קנטור

[עריכה] בניה איטרטיבית

באופן פורמלי הבנייה של קבוצת קנטור נעשית בצורה איטרטיבית:

בשלב הראשון, מחלקים את הקטע [0,1] לשלושה חלקים שווים. מסירים מהקטע [0,1] את השליש האמצעי, שהוא הקטע הפתוח (2/3 , 1/3). נותרים שני קטעים סגורים, שאורך כל אחד מהם הוא $\ 3^{-1}$ (כלומר שליש).
בשלב השני, מחלקים כל אחד משני הקטעים שנותרו, כלומר הקטעים [1/3 , 0] ו [1 , 2/3] לשלושה חלקים שווים ושוב מסירים את הקטע הפתוח האמצעי בכל אחד מהם (במקרה שלנו - את (2/9 , 1/9) ו (8/9 , 7/9). נותרים 4 קטעים סגורים שאורך כל אחד מהם הוא תשיעית, כלומר: $\ 3^{-2}$ .
בשלב מספר n מחלקים כל קטע שנותר לשלושה חלקים שווים ושוב מסירים מכל קטע את הקטע הפתוח האמצעי. לאחר ההסרה, נותרים $\ 2^{n}$ קטעים סגורים, שאורך כל אחד מהם הוא $\ 3^{-n}$ .

נסמן את הקבוצה שהתקבלה בשלב ה- $\,n$ -י ב- $\ A_n$ , אזי קבוצת קנטור מוגדרת להיות חיתוך בן-מנייה של כל הקבוצות הללו

$\ C = \bigcap_{n=1}^{\infty}{A_n}$

כלומר, קבוצת קנטור היא אוסף כל הנקודות בקטע [0,1] שלא הוסרו בתהליך המתואר לעיל.

[עריכה] בנייה לפי בסיס 3

אפשר לקבל את קבוצת קנטור אם אוספים את כל המספרים בקטע [0,1] שאפשר לכתוב אותם בבסיס 3 בלי להשתמש בספרה 1.

בשביל להיווכח שכך מתקבלת קבוצת קנטור, נשים לב שבבסיס 3 המספר 1/3 נכתב כ-0.1 ואילו 2/3 כ-0.2. כלומר בשלב הראשון באלגוריתם האיטרטיבי המוזכר למעלה אנחנו מוחקים את כל המספרים מהצורה ...0.1xxxxxx , לבד אלה שבהם כל ה-x-ים הם 0 (כלומר 0.1) או כל ה-x-ים הם 2 (כלומר 0.2 = ...0.12222), ונשארים רק עם מספרים מהצורה ...0.0xxxxxx או ...0.2xxxxxx .

יש לשים לב שגם את 1 אפשר לכתוב כ- ...0.22222 ואת 0.1 אפשר לכתוב כ ...0.02222, וכך לא להשתמש בספרה 1, למרות ששתי נקודות אלה שייכות לקבוצת קנטור.

בשלב הבא מחלקים את הקטעים [0,0.1] ו [0.2,1] לשלישים. בקטע הראשון אנחנו מוחקים את כל המספרים מהצורה ...0.01xxxxx (חוץ מאלה בהם כל ה-x-ים זהים, כלומר שני הקצוות) ונשארים עם מספרים מהצורה ...0.00xxxxx או ...0.02xxxxx , ומהקטע השני את כל המספרים מהצורה ...0.21xxxxx, ונשארים עם מספרים מהצורה ...0.20xxxxx או ...0.22xxxxx.

אם כן האיטרציה ה-n-ית באלגוריתם האיטרטיבי מטפלת במספרים בהם הספרה 1 הראשונה מופיעה במקום ה-n-י אחרי הנקודה (לפי בסיס 3).

[עריכה] בנייה רקורסיבית

אפשר לתת גם הגדרה רקורסיבית: "קבוצת קנטור היא הקבוצה המתקבלת משיבוץ עותק מוקטן של קבוצת קנטור בשליש הראשון והשליש האחרון של הקטע [0,1]". זוהי אמנם הגדרה מעגלית, אבל קל 'לתקן' אותה להגדרה מדויקת: קבוצת קנטור היא תת-הקבוצה הגדולה ביותר (ביחס להכלה) של הקטע [0,1], השווה לאיחוד של עותק מוקטן שלה בשליש הראשון, עם עותק מוקטן שלה בשליש האחרון.

על מנת לקבל את קבוצת קנטור האמיתית צריך להשתמש ברקורסיה אינסופית כאמור למעלה. אבל לכל שימוש גרפי מעשי צריך לקבוע תנאי קצה בו אחרי קבוצת קנטור בעומק מסוים של הרקורסיה תצוייר כקו עליה היא נבנית (או כשתי הנקודות בקצהו).

[עריכה] תכונות

קבוצת קנטור איננה בת מנייה - עוצמתה היא $\aleph$ (עוצמת הרצף).
קבוצת קנטור היא בעלת מידת לבג אפס.
קבוצה קנטור היא קבוצה סגורה, שכן היא חיתוך בן מנייה של איחודים סופיים של קבוצות סגורות.
קבוצת קנטור לא מכילה אף קטע פתוח.
קבוצת קנטור היא פרקטל.

[עריכה] מבוא אינטואיטיבי

אם נחשב את האורך הכולל של הקטעים שהסרנו בתהליך הבנייה נקבל ש

$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{3^{n}} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1.$

כלומר - סה"כ הסרנו קטעים באורך כולל של 1. לכן, היינו מצפים שלא יוותר כלום בקבוצה שנשארה. אבל מה שקורה הוא שלא רק שנותר הרבה בקבוצה שנשארה, אלא שכמות האיברים שנותרו שווה לכמות האיברים שהתחלנו איתה! (באופן פורמלי, קבוצת קנטור היא שוות עוצמה לקטע [0,1]).

קבוצת קנטור היא הדוגמה הנפוצה ביותר לקבוצה שאינה בת מנייה שמידת לבג שלה היא מידה אפס. זהו מצב מפתיע.

[עריכה] עוצמתה של קבוצת קנטור

עיון בתהליך הבנייה של הקבוצה מראה מיד שנקודות הקצה של כל קטע שנוצר בתהליך הבנייה, כגון 2/3 ו-1/3 בצעד הראשון, אינן מוסרות (ולכן הן נכללות בקבוצת קנטור). כיוון שבתהליך יש מספר בן מנייה של צעדים, הרי נובע שעוצמתה של קבוצת קנטור אינה קטנה מ- $\!\, \aleph_0$ (עוצמת הטבעיים). אף שעלול להיווצר הרושם כי רק נקודות הקצה הללו נכללות בקבוצת קנטור, לא זה המצב - גם הנקודה 1/4, למשל, שאינה נקודת קצה, נכללת בה: הנקודה 1/4 נמצאת בקטע השמאלי בצעד הראשון, בקטע הימני בצעד השני, בקטע השמאלי בצעד השלישי וכך הלאה, עד אינסוף, היא לעולם אינה נמצאת בשליש האמצעי, שאותו מסירים בתהליך.

נוכיח שבקבוצת קנטור נשארו $\aleph$ איברים. נעשה זאת על ידי כך שנראה שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לבין קבוצת כל המספרים שבפיתוח הטרינרי שלהם לא מופיעה הספרה 1. כזכור, פיתוח בבסיס עשרוני לכל $0 \le x \le 1$ הוא

$\ x = \sum_{n=1}^{\infty}{ x_n \cdot 10^{-n}}$ כאשר $x_n \in \{0,1,\dots,9\}$ ,

(פיתוח זה איננו יחיד שכן 1 ואחריו סדרה אינסופית של אפסים שקול ל 0 ואחריו סדרה אינסופית של תשיעיות)

באותו אופן אפשר לרשום פיתוח בבסיס 3:

$\ x = \sum_{n=1}^{\infty}{ x_n \cdot 3^{-n}}$ כאשר $x_n \in \{0,1,2\}$ .

נסתכל בקבוצת כל $0 \le x \le 1$ כך ש 1 לא מופיע בפיתוח הטרנארי שלהם, כלומר, כל ה x-ים בקטע [0,1] כך ש

$\ x = \sum_{n=1}^{\infty}{ x_n \cdot 3^{-n}}$ כאשר $\ x_n \in \{0,2\}$ .

לכל מספר כזה, אפשר להתאים נקודה בקבוצת קנטור. יותר פשוט לתאר כיצד לכל נקודה בקבוצת קנטור אפשר להתאים ייצוג טרנארי של מספר בקטע [0,1].

שלב ראשון: עבור x בקטע [0,1] נסתכל בשני תת-הקטעים המתקבלים מבניית קבוצת קנטור: אם x בקטע השמאלי יותר - נרשום 0 בספרה הראשונה בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום 2.
שלב שני: נסתכל בתת-הקטע שבו x מוכל. נסתכל על תתי-הקטע שלו המתקבלים מקבוצת קנטור: אם x בקטע השמאלי יותר - נרשום 0 בספרה השנייה בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום 2.
...
שלב n-י: נסתכל בתת-הקטע שבו x מוכל. נסתכל בשני תת-הקטעים המתקבלים מבניית קבוצת קנטור: אם x בקטע השמאלי יותר - נרשום 0 בספרה ה n-ית בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום 2.

לפי הלמה של קנטור נקבל שחיתוך בן מנייה של כל קטעים אלה יתכנס לנקודה יחידה x ובאמצעות הבניה לעיל הראנו את הצגתו בצורה טרינארית. מתיאור זה ברור גם איך אפשר לשכן כל מספר שבפיתוח הטרינארי שלו מופיעים רק הספרות 0 או 2 בקבוצת קנטור. מכאן, זה ברור מדוע ההתאמה בין שתי הקבצות היא חד-חד-ערכית ועל.

נותר להוכיח שקבוצת כל המספרים בעלי פיתוח טרינארי שלא מופיעה בו הספרה 1 אינה בת מנייה; אבל ההתאמה $\ \sum_{n=1}^{\infty} x_n 3^{-n} \mapsto \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} x_n 2^{-n}$ היא התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לקטע [0,1] (ראו גם שיטת האלכסון של קנטור).

[עריכה] מידתה של קבוצת קנטור

בשלב ה-n-י של הבניה האיטרטיבית אנו מכסים את קבוצת קנטור בקטעים שסכום הארכים שלהם שווה ל- $\left( 2/3 \right) ^n$ . מכיוון שסדרה זו שואפת לאפס, המידה של קבוצת קנטור היא אפס.

[עריכה] קבוצת קנטור היא פרקטל

קבוצת קנטור היא אבטיפוס של פרקטל. היא בעלת דמיון-עצמי מכיוון שהיא מהווה איחוד של שני עותקים של עצמה, כאשר כל עותק מכווץ בפקטור שליש (כלומר: קטן פי 3) ומוזז. ממד האוסדורף של הקבוצה הוא $\ \ln(2) / \ln(3)$ . אפשר להשוות את המספר המתקבל לממד האוסדורף של קבוצה סופית (שהוא תמיד אפס) מחד, ולממד של קטע (קטן ככל שיהיה), שהוא תמיד 1, מאידך (ראו פירוט על ממד פרקטלי בערך ממד האוסדורף).

[עריכה] תכונות טופולוגיות

קבוצת קנטור יורשת את המטריקה הרגילה של הישר הממשי, וכך היא מהווה מרחב מטרי. הקבוצה סגורה בטופולוגיה המטרית של הישר הממשי, מכיוון שהמשלים שלה בקטע [0,1] הוא איחוד של קטעים פתוחים. מאחר שהקבוצה חסומה, משפט היינה בורל מבטיח שהיא קבוצה קומפקטית. מכאן נובע גם שהיא שלמה.

אם קטע פתוח מכיל נקודה של קבוצת קנטור, אז הוא מכיל אינסוף נקודות שלה. לכן, כל נקודה בקבוצת קנטור היא נקודת הצטברות. קבוצה כזאת נקראת בטופולוגיה "קבוצה מושלמת".

קבוצת קנטור היא קבוצה דלילה (nowhere dense) שכן הפנים שלה ריק ולכל נקודה קיימת סביבה הזרה לקבוצת קנטור. לכן היא לא קשירה לחלוטין. תכונות אלה מאפיינות את קבוצת קנטור באופן מלא: כל מרחב מטרי טופולוגי מושלם שהוא לא קשיר לחלוטין, שקול מבחינה טופולוגית (כלומר, הומיאומורפי) לקבוצת קנטור. יתרה מזו, כל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור.