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Forme prénexe - Wikipédia

Forme prénexe

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Une formule de la logique du premier ordre est en forme prénexe si tous ses quantificateurs ( $\forall$ et $\exists$ ) apparaissent à gauche dans cette formule. C’est-à-dire, G est en forme prénexe ssi $G=Q_1 x_1 Q_2 x_2 ... Q_n x_n G^{\prime}$ avec $Q_i \in \{\forall, \exists\}$ .

Toutes les formules du premier ordre sont logiquement équivalentes à une formule en forme prénexe.

Pour mettre une formule logique en forme prénexe, on peut utiliser les règles suivantes:

$\lnot \forall x F \Rightarrow \exists x \lnot F$
$(\forall x F) \land G \Rightarrow \forall x (F \land G)$
$(\forall x F) \lor G \Rightarrow \forall x (F \lor G)$
$(\forall x F)\supset G \Rightarrow \exists x(F \supset G)$
$G \land (\forall x F) \Rightarrow \forall x (G \land F)$
$G \lor (\forall x F) \Rightarrow \forall x (G \lor F)$
$G \supset (\forall x F) \Rightarrow \forall x (G \supset F)$
$\lnot \exists x F \Rightarrow \forall x \lnot F$
$(\exists x F) \land G \Rightarrow \exists x (F \land G)$
$(\exists x F) \lor G \Rightarrow \exists x (F \lor G)$
$(\exists x F)\supset G \Rightarrow \forall x(F \supset G)$
$G \land (\exists x F) \Rightarrow \exists x (G \land F)$
$G \lor (\exists x F) \Rightarrow \exists x (G \lor F)$
$G \supset (\exists x F) \Rightarrow \exists x (G \supset F)$

La variable x ne doit avoir aucune occurrence libre dans G (voir Calcul des prédicats). Sinon, utiliser un renommage de x en x'.

Catégories : Logique | Logique mathématique

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