Pallotrigonometria

Wikipedia

Eräs pallokolmio. Kulmat a, b ja c vastaavat kolmion sivuja ja C on sivulle c vastakkainen kärkikulma. Vastaavalla tavalla kärjessä v on kulma B ja kärjessä w on kulma A.

Pallotrigonometria tarkoittaa kolmiomittausta pallon pintaa pitkin. Koska pallopinta eroaa kaarevuutensa vuoksi tasosta, myös pallotrigonometrialla on eroja koulusta tuttuun tason trigonometriaan verrattuna. Pallotrigonometrialla on perinteisesti ollut erityisen suuri merkitys tähtitieteessä sekä navigoinnissa.

[muokkaa] Pallokolmio ja palloeksessi

Pallokolmiolla tarkoitetaan pallon pinnalle piirrettyä kolmiota, jonka kaikki sivut ovat isoympyrän kaaria. Koska isoympyrä on suoran vastine pallopinnalla, tämä vastaa tasokolmiota, jonka sivut eivät mutkittele. Pallokolmion välitön ero tasogeometriseen kolmioon on, että pallokolmion kulmien summa on vähintään 180 astetta, kun tasokolmion kulmien summa on aina tasan 180 astetta. Koska pallokolmion sivujen pituudet vastaavat suoraan vastaavia kulmia pallon keskipisteestä katsottaessa, pallokolmion sivuja on järkevää käsitellä kulmina pituusmitan sijaan. Kulman yksikkönä – niin sivujen pituuksia, kuin kärkikulmiakin ajatellen – on pallotrigonometriassa aina järkevintä käyttää radiaania.

Pallokolmion ja tasokolmion kulmien summien erotusta kutsutaan palloeksessiksi tai pallokolmioeksessiksi (engl. spherical excess). Se määritellään yksinkertaisesti

$E = (A + B + C) - \pi \,$ ,

missä pallokolmion kärkikulmat $A$ , $B$ ja $C$ on luonnollisesti lausuttu radiaaneissa. Palloeksessille voidaan osoittaa yksinkertainen yhteys kolmion pinta-alaan S:

$S = Er^2\,$ .

Geometrisesti ajatellen palloeksessi ilmoittaa (steradiaaneissa) sen avaruuskulman, jossa pallokolmio näkyy pallon keskipisteestä katsottuna.

[muokkaa] Peruskaavoja

Tasotrigonometrian peruskaavoille voidaan johtaa vastineet pallopinnalle. Tasokolmioiden sinilausetta vastaa pallokolmioille sinikaava

$\frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C}$ ,

missä pieni kirjain vastaa kolmion sivua ja iso sille vastakkaista kärkikulmaa. Kosinilausetta vastaa kosinikaava

$\cos a = \cos A \sin b \sin c + \cos b \cos c \,$ .

Näiden vastaavuus tasogeometriaan on vaivatonta osoittaa olettamalla sivujen pituudet pieniksi, jolloin trigonometriset funktiot voi korvata niitä vastaavilla Taylorin sarjoilla. Tasogeometriasta poiketen on vielä olemassa myös sini-kosinikaava

$\cos B \sin a = -\cos A \sin b \cos c + \cos b \sin c \,$ .

Korvaamalla sivuja vastaavat funktiot sarjoilla huomataan, että tämän kaavan vastine tasogeometriassa on täysin triviaali seuraus sini- ja kosinifunktioiden määritelmistä. Pallogeometriassa se joudutaan kuitenkin johtamaan erikseen.