Teorema de Sarkovskii

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Sea una aplicación continua f : R→R. Si esta función tiene un punto periódico de período k, entonces tiene puntos periódicos de todos los períodos inferiores a k según el orden "<<" siguiente:

1 << 2 << 4 << 8 << ... << 2ⁿ·7 << 2ⁿ·5 << 2ⁿ·3 << ... << 2·7 << 2·5 << 2·3 << ... 9 << 7 << 5 << 3

Este teorema es óptimo, es decir, si m << k según el orden precedente, existen aplicaciones continuas con puntos periódicos de periodo m pero sin punto periódico de período k. En particular, una función que presenta un punto x periódico de orden tres, es decir tal que:

fofof(x) = x

donde o es la composición de las funciones, entonces presentará puntos periódicos de cualquier orden:

f ⁿ(y) = fofof ...of(y) = y.

Se dice que el periodo tres implica el caos, y esta propiedad es fundamental en la teoría del caos.
Este corolario recibe el nombre de Teorema de Li y Yorke, matemáticos que redescubrieron en Estados Unidos parte del teorema ruso, que había pasado totalmente inadvertido en Occidente.

El ejemplo fundamental es f(x)= a·x·(1 - x), con x en el intervalo [ 0; 1], y a en [0; 4]. Cuando a crece de 0 a 4, va apareciendo puntos periódicos de orden 2, luego 4, luego 8, 16, ... y finalmente 3.

En las abcisas está el parámetro a. El período 3 aparece para a algo mayor que 3,8, justo al salir de la zona caótica (en gris).

El teorema utiliza el que R es totalmente ordenado y unidimensional, no se aplica a los números complejos:
La función f :C →C definida por f(z) = e^2iπ/3·z es tal que todos los puntos del plano son periódicos de orden 3, pero de ningún otro orden (excepto 0 que es de orden 1) - f es una rotación de ángulo 120 grados o 2·π/3 radianes y no existe equivalentes de las rotaciones en una dimensión.