Grupo profinito
De Wikipedia, la enciclopedia libre
En matemática, un grupo pro-finito G es un grupo que, en cierto modo, está muy "próximo" a ser finito.
Tabla de contenidos |
[editar] Definición
Formalmente, un grupo pro-finito es límite inverso de grupos finitos. En concreto, G es pro-finito si existe un conjunto dirigido I, una colección de grupos finitos 
, y homomorfismos 
para cada par de elementos 
con 
, que satisfacen
- αii = 1 para todo
para todos los 
con 
con la propiedades:
- G es isomorfo como grupo al límite proyectivo (límite inverso);
-
, con la multiplicación componente a componente.
- El isomorfismo de G a
(considerado como subespacio topológico de 
) es un homeomorfismo de espacios topológicos, en donde cada Hi recibe la topología discreta y recibe la topología producto.
Es posible verlos por tanto como grupos topológicos de manera natural: cada uno de los grupos finitos está dotado de la topología discreta, y como G es un subconjunto del producto de aquéllos espacios discretos, hereda cierta topología que lo convierte en un grupo topológico.
[editar] Ejemplos
Cada grupo finito es trivialmente pro-finito. Los ejemplos más importantes de grupos pro-finitos son los enteros p-ádicos. La Teoría de Galois de las extensiones de cuerpos de grado infinito hace surgir de forma natural los grupos de Galois que resultan ser pro-finitos. Los grupos fundamentales que son tratados por la Geometría algebraica son también pro-finitos, debido a que, hablando rápidamente, el álgebra sólo puede 'ver' recubrimientos finitos de una variedad algebraica.
[editar] Propiedades
Cada grupo pro-finito es un Espacio de Hausdorff compacto: ya que todos los espacios finitos discretos son de Hausdorff, su producto será un espacio compacto de Hausdorff por el Teorema de Tychonoff. G es un conjunto cerrado de este producto y por tanto es también compacto y de Hausdorff.
Todo grupo pro-finito es totalmente disconexo y más aún: un grupo topológico es pro-finito si y solamente si es Hausdorff, compacto y totalmente disconexo.
[editar] Grupos Ind-finitos
Existe la noción de grupo ind-finito, que es la dual de grupo pro-finito. Será por tanto un grupo G que es el límite directo de grupos finitos. La terminología usual es sin embargo diferente: un grupo G es llamado localmente finito si cada subgrupo finitamente generado es finito. De hecho esto es equivalente a ser ind-finito.
Aplicando la dualidad de Pontryagin, uno puede ver que los grupos abelianos pro-finitos son los duales de los grupos abelianos discretos localmente finitos. Estos últimos son precisamente los grupos de torsión abelianos.
[editar] Véase también
- Grupo localmente cíclico
