Topos (Mathematik)

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Topos (pl. Topoi, griech. Ort) ist ein Begriff der Kategorientheorie, der in zwei engverwandten Ausprägungen vorkommt, nämlich

als Grothendieck-Topos, der ein verallgemeinerter topologischer Raum ist und Anwendungen in der algebraischen Geometrie findet.
als Elementartopos, der eine verallgemeinerte Menge ist, mit dem Ziel einer nicht-mengentheoretischen Grundlegung der Mathematik.

[Bearbeiten] Grothendieck-Topoi

Ein Grothendieck-Topos ist definiert als eine Kategorie, die äquivalent ist zur Kategorie der Garben (von Mengen) auf einem Situs. Nach einem Satz von J. Giraud ist eine Kategorie $E$ genau dann ein Grothendieck-Topos, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

(a) In $E$ existieren endliche projektive Limites.
(b) In $E$ existieren beliebige Koprodukte, und sie sind universell disjunkt.

Ein Koprodukt $S=\coprod S_i$ heißt disjunkt, wenn die Strukturmorphismen $S_i\to S$ Monomorphismen sind und $S_i\times_SS_j$ für $i\ne j$ ein Anfangsobjekt ist. Das Koprodukt heißt universell disjunkt, wenn es unter jedem Basiswechsel $T\to S$ disjunkt bleibt, d.h. wenn $T=\coprod(T\times_SS_i)$ disjunkt ist.

Dabei ist eine Äquivalenzrelation ein Paar $p_1,p_2\colon R\to X$ von Morphismen, so dass für jedes Objekt $T\in E$ die induzierte Abbildung $(p_1,p_2)\colon R(T)\to X(T)\times X(T)$ eine Bijektion auf den Graphen einer Äquivalenzrelation auf

X (T)

ist. (Dabei ist $X(T):=\operatorname{Hom}(T,X)$ .)

(d) $E$ besitzt eine erzeugende Familie von Objekten.

Dabei heißt eine Familie

E i

von Objekten erzeugend, wenn ein Morphismus $X\to Y$ , für den alle induzierten Abbildungen $X(E_i)\to Y(E_i)$ Bijektionen sind, ein Isomorphismus ist.

[Bearbeiten] Literatur

Michael Artin, Alexander Grothendieck, Jean-Louis Verdier: Séminaire de géométrie algébrique du Bois-Marie. Théorie des topos et cohomologie étale des schémas. (SGA 4) 1963-64. SGA
Francis Borceux: Handbook of Categorical Algebra 3: Categories of Sheaves – Cambridge, 1994.
Rob Goldblatt: Topoi : the categorial analysis of logic. – Amsterdam, ¹1979, ²1984; Mineola, NY: Dover 2006. ISBN 0-486-45026-0 Zbl 0434.03050(krit. bespr. v. Johnstone) Scans
Saunders Mac Lane und Ieke Moerdijk: Topos theory. In: M. Hazewinkel (Hrsg.): Handbook of algebra. Amsterdam. Bd. I, 1996, S.501-528. ISBN 0-444-82212-7 Zbl 0858.18001
Saunders Mac Lane und Ieke Moerdijk: Sheaves in geometry and logic : a first introduction to topos theory. – Berlin, 1992. – xii, 627 p. (Universitext) ISBN 0-387-97710-4 Zbl 0822.18001
Michael Barr und Charles Wells: Toposes, Triples and Theories. – Berlin, 1983 (Grundlehren der math. Wissenschaften; 278) http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html
Peter T. Johnstone: Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Oxford Logic Guides, 43 & 44, 2002. ISBN 0-19-852496-X Zbl 1071.18002
Ieke Moerdijk, Jacob Johan Caspar Vermeulen: Proper Maps of Toposes. Mem. Am. Math. Soc. 705, 2000. ISBN 0-8218-2168-7 Zbl 0961.18003

Kategorie: Kategorientheorie

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