Potenzreihe

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit Potenzreihen, die der Beschreibung von reellen oder komplexen Funktionen dienen. Für formale Potenzreihen siehe dort.

Unter einer Potenzreihe versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form

$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n.$

$(a_n)_{n \in \mathbb N_0}$ ist hierbei eine beliebige Folge von reellen oder komplexen Zahlen. $x 0$ wird als der Entwicklungspunkt der Potenzreihe bezeichnet.

Hinsichtlich der Konvergenz sind drei Fälle möglich: Die Reihe konvergiert entweder

nur für $x = x 0$ , oder

auf einem Intervall (reelle Zahlengerade) bzw. auf einer Kreisscheibe mit Mittelpunkt $x 0$ (komplexe Ebene), dem sogenannten Konvergenzkreis, oder

auf ganz $\mathbb{R}$ bzw. $\mathbb{C}$ .

[Bearbeiten] Konvergenzradius

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle $x 0$ ist die größte Zahl $r$ definiert, für welche die Potenzreihe für alle $x$ mit $| x - x 0 | < r$ konvergiert. Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises. Falls die Reihe nur für $x 0$ konvergiert, so ist der Konvergenzradius 0, konvergiert sie für alle $x$ , so sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius $r$ mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

$r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}.$

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nicht-verschwindenden Koeffizienten einfacher auf folgende Weise berechnet werden. Es gilt nämlich

$r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|,$

sofern dieser Limes existiert. Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

$|x-x_0|<r \Rightarrow$ Die Potenzreihe ist absolut konvergent.

$|x-x_0|>r \Rightarrow$ Die Potenzreihe ist divergent.

$|x-x_0|=r \Rightarrow$ Hier lassen sich keine allgemeinen Konvergenzaussagen treffen, dieser Fall ist für jedes

x

jeweils separat zu untersuchen.

[Bearbeiten] Operationen mit Potenzreihen

[Bearbeiten] Addition und skalare Multiplikation

Sind $f$ und $g$ zwei Potenzreihen

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$

$g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n$

mit dem Konvergenzradius $r$ und ist $c$ eine reelle beziehungsweise komplexe Zahl, dann sind auch $f + g$ und $c f$ wieder Potenzreihen mit dem Konvergenzradius $r$ und es gilt

$f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n$

$cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n .$

[Bearbeiten] Multiplikation

Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius $r$ ist ebenfalls eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius der mindestens $r$ ist. Es gilt

$f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)$

$= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-x_0)^{i+j} = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n.$

Die Folge $m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$ ist dabei die Faltung der beiden Folgen $a n$ und $b n$ .

[Bearbeiten] Differentiation und Integration

Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation.

$f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n}$

Analog erhält man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe.

$\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C$

In beiden Fällen entspricht der Konvergenzradius dem der ursprünglichen Reihe.

[Bearbeiten] Beispiele

Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe auffassen, wobei alle Koeffizienten $a n$ mit Ausnahme von endlich vielen gleich 0 sind. Wichtige andere Beispiele sind auch Laurent-Reihen, Taylorreihen und die MacLaurin'sche Reihe. Hier noch beispielhaft die Reihenentwicklungen einiger bekannter Funktionen:

Exponentialfunktion: $e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \quad \mathrm{f\ddot{u}r\ alle}\ x \in \mathbb{R}$ , d. h. der Konvergenzradius ist unendlich.

Logarithmusfunktion: $\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\,x^k}{k} = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \pm \cdots \quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad -1 < x \leq 1$ , d. h. der Konvergenzradius ist 1. Für $x = 1$ ist die Reihe konvergent, für $x = - 1$ divergent.

Wurzelfunktion: $\sqrt{1\pm x} = 1 \pm \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2\pm\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3- \pm \cdots \quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad -1 \leq x \leq 1$ , d. h. der Konvergenzradius ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl für $x = 1$ als auch für $x = - 1$ .

Kategorien: Analytische Funktion | Folgen und Reihen

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Konvergenzradius

[Bearbeiten] Operationen mit Potenzreihen

[Bearbeiten] Addition und skalare Multiplikation

[Bearbeiten] Multiplikation

[Bearbeiten] Differentiation und Integration

[Bearbeiten] Beispiele

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