Divisionsalgebra
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Divisionsalgebra ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Abstrakte Algebra. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen Vektorraum, in dem man Elemente multiplizieren und dividieren kann.
[Bearbeiten] Definition und Beispiele
Eine Divisionsalgebra ist eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra 
, in der zu je zwei Elementen 
die Gleichungen 
und 
stets eindeutige Lösungen 
besitzen (dabei bezeichnet "·" die Vektormultiplikation in der Algebra.).
Eine Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Das wurde 1958 von Milnor und Kervaire bewiesen.
Enthält die Divisionsalgebra die Zahl 1, so dass 
gilt, spricht man von einer Divisionsalgebra mit Eins.
Die 4 reellen, normierten Divisionsalgebren mit Eins sind (bis auf Isomorphie)
- die reellen Zahlen selbst
- die komplexen Zahlen
- die Quaternionen
- die Oktaven auch Oktonionen oder Cayley-Zahlen.
Dieses Resultat ist als Satz von Hurwitz (1898) bekannt.
Beispiel einer Divisionsalgebra ohne Einselement mit den beiden Einheiten e1 und e2, die mit beliebigen reellen Zahlen multipliziert werden können:
[Bearbeiten] Literatur
- Ebbinghaus et. al.: Zahlen. Berlin: Springer, 1992, ISBN 3-54055-654-0
- Stefaan Caenepeel, A. Verschoren Rings, Hopf Algebras, and Brauer Groups, CRC Press, 1998, ISBN 0824701534
