Äußeres Maß
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Äußeres Maß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie, der 1914 von Constantin Carathéodory eingeführt wurde. Ein äußeres Maß ν ist eine Mengenfunktion von der Potenzmenge einer Menge X in das Intervall ![[0, \infty]](../../../../math/3/1/5/315e0047ccbfa87354192dac2fe986fb.png)
, welche folgende Axiome erfüllt:
„
„Die letzte Eigenschaft wird als σ-Subadditivität bezeichnet.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Konstruktion des Äußeren Maßes
Sei 
beliebiges Mengensystem mit 
und ![\mu: S\rightarrow [0,+\infty]](../../../../math/d/5/c/d5cb9df52542e6e1fd5a3d3dd1a01dbe.png)
eine Abbildung mit 
. Gilt für alle 
:
dann ist ν ein äusseres Maß auf 
.
[Bearbeiten] Metrisches äußeres Maß
Ein metrisches äußeres Maß, ist ein äußeres Maß mit der zusätzlichen Eigenschaft:
für separierte Mengen A und B.
[Bearbeiten] Beispiel
- Zur Konstruktion des Lebesgue-Maßes λ wird ein metrisches äußeres Maß λ * verwendet.
[Bearbeiten] Messbarkeit nach Carathéodory
Sei ![\nu:\mathcal{P}(X)\to [0,\infty]](../../../../math/6/a/a/6aae4e28e9c459025c3f4bab648ed2bf.png)
ein äußeres Maß auf der Potenzmenge einer Menge X. Eine Menge 
heißt messbar bezüglich ν, falls
Dabei ist zu beachten, dass der Begriff Messbarkeit in der Maßtheorie zwei Bedeutungen hat, nämlich zum einen Messbarkeit bezüglich eines Messraums und zum anderen die Messbarkeit nach Carathéodory bezüglich eines äußeren Maßes.
Dieser Begriff der Messbarkeit stammt von Constantin Carathéodory.
[Bearbeiten] Beispiele
- Sei
Menge mit:
- Dann ist A ν-messbar. Denn aus der σ-Subadditivität des äußeren Maßes folgt:
sind ν-messbar.- Nullmengen sind messbar: Sei mit ν(A) = 0. Dann ist A ν-messbar.
[Bearbeiten] σ-Algebra der ν messbaren Mengen
Ist ν ein äußeres Maß, so ist die Menge
eine σ-Algebra und 
ein vollständiges Maß.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Literatur
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2.
- Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Gebunden), ISBN 3-11-013625-2 (Broschiert).
