เศษส่วนอย่างต่ำ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เศษส่วนอย่างต่ำ หรือ เศษส่วนลดทอนไม่ได้ คือเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด เมื่อเทียบกับเศษส่วนตัวอื่นที่มีค่าเท่ากัน ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่า เศษส่วน ^a⁄_b จะเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ก็ต่อเมื่อ a และ b มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1

ถ้ากำหนดให้ a, b, c, d เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด ดังนั้นเศษส่วน ^a⁄_b จะเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ก็ต่อเมื่อ ไม่มีเศษส่วนอื่นๆ ^c⁄_d ที่เทียบเท่า ^a⁄_b ซึ่งทำให้ |c| < |a| และ |d| < |b| โดยสัญลักษณ์ |a| หมายถึงค่าสัมบูรณ์ของ a นิยามนี้มีความทั่วไปมากกว่าและขยายขอบเขตไปได้มากกว่าตัวส่วนธรรมดา และเป็นสิ่งสำคัญที่ใช้ทดสอบความเป็นจำนวนตรรกยะของจำนวนหนึ่งๆ

ดังตัวอย่าง ¹⁄₄, ⁵⁄₆, และ ⁻¹⁰¹⁄₁₀₀ ล้วนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ในขณะที่ ²⁄₄ ไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ เนื่องจากมีเศษส่วนที่เทียบเท่ากันคือ ¹⁄₂ ซึ่งทั้งตัวเศษและตัวส่วนน้อยกว่าทั้งคู่

[แก้] การลดทอนเศษส่วน

เศษส่วนที่ยังไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ สามารถลดทอนได้โดยหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ในการลดทอนเศษส่วน ¹²⁰⁄₉₀

$\tfrac{120}{90}=\tfrac{12}{9}=\tfrac{4}{3} \,$

ในขั้นแรก จำนวนทั้งสองถูกหารด้วย 10 ซึ่งเป็นตัวประกอบของ 120 และ 90 และในขั้นถัดไปก็ถูกหารด้วย 3 จนได้ผลลัพธ์เป็น ⁴⁄₃ ซึ่งเป็นเศษส่วนอย่างต่ำเนื่องจากไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นใดนอกจาก 1

หรือเราสามารถลดทอนเศษส่วนได้ในขั้นตอนเดียว โดยการหาตัวหารร่วมมากของตัวเศษและตัวส่วนออกมาก่อน ซึ่งตัวหารร่วมมากของ 120 กับ 90 เท่ากับ gcd(90, 120) = 30 จากนั้นจึงนำ 30 ไปหารออกจากเศษส่วน

$\tfrac{120}{90}=\tfrac{4}{3} \,$