중간값 정리
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중간값 정리는 수학에서 함수 f(x)가 폐구간 [a,b] 에서 연속이고 f(a) ≠ f(b)일 때, f(a)와 f(b) 사이에 있는 임의의 실수값 ℓ에 대하여 f(c) = ℓ인 c가 폐구간[a,b]에 적어도 하나 존재한다는 정리이다. 좀더 수학적으로 기술된 정리는 다음과 같다.
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[편집] 중간값 정리
폐구간 [a,b]에서 정의된 연속함수 f : [a,b] → R 이 있다. 이 때, 다음 사실이 성립한다.
- 만약 f(a)f(b) < 0 이면, f(x) = 0 을 만족하는 점 x 가 [a,b]상에 적어도 하나 존재한다.
- 만약 f(a) ≦ ℓ ≦ f(b) 이거나 f(b) ≦ ℓ ≦ f(a)이면, f(c) = ℓ 를 만족하는 점 t 가 [a,b]상에 적어도 하나 존재한다.[1]
[편집] 따름정리
폐구간 [a,b]에서 정의된 연속함수 f : [a,b] → R 이 있다. 이 때, 다음 사실이 성립한다.
- 어떤 실수 c,d에 대해 f([a,b]) = [c,d] 이다.
- 만약 f(a) = f(b) 이고 c < ℓ < d 이면, f(ξ) = f(η) = ℓ을 만족하는 ξ, η ∈ [a,b], ξ≠η 쌍이 항상 존재한다.
[편집] 일반화된 중간값 정리
함수 f : S → R, 연결집합이고 컴팩트집합인 S ⊂ Rn가 있다 하자.
- 만약 f가 S에서 양의 값과 음의 값을 모두 가지면 f(c) = 0 인 점 c ∈ S 가 존재한다.
- 만약 점 x, y ∈ S 에 대해 f(x) ≦ ℓ ≦ f(y) 또는 f(y) ≦ ℓ ≦ f(x) 이면, f(c) = ℓ 인 점 c ∈ S 가 존재한다.
[편집] 관련된 정리들
- 구간 I 에서 정의된 일대일대응인 연속함수 f : I → R 이 있다. 그러면, f는 순단조인 함수이다.
- 일대일 대응이며 onto인 연속함수 f : [a,b] → [c,d]가 있다. 이 때, 역함수 f-1 : [c,d] → [a,b]는 연속이고 onto이며 순단조이다.
- 일대일대응인 연속함수 f : S → R, 조밀집합인 S ⊂ Rn가 있다 하자. 이 때, 역함수 f-1 : f(S) → S 는 연속함수 이다.
[편집] 참고문헌
- ↑ Douglass, Steven A. Introduction to Mathematical Analysis, Addison-Wesley, 1996. p.139
