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베타 함수 - 위키백과

베타 함수

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베타 함수(Beta function)은 다음과 같이 정의되는 함수이다.

\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt

이때 x와 y는 실수부가 0보다 큰 복소수이다. 감마 함수와 함께 오일러 적분(Euler integral)으로 부르기도 한다.

[편집] 성질

  • 대칭성이 있다. 즉, Β(x,y) = Β(y,x)가 성립한다.
  • \mathrm{\Beta}(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}, 여기에서 Γ(x)는 감마 함수.
  • \mathrm{\Beta}(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0
  • \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0
  • \mathrm{\Beta}(x,y) = \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)}, 여기에서 (x)n = x(x − 1)(x − 2)...(x − n + 1).

또한 감마 함수가 계승을 일반화한 것으로 생각할 수 있는 것처럼, 베타 함수는 이항계수의 일반화로 생각할 수 있다.

{n \choose k} = \frac1{(n+1) \mathrm{B}(n-k+1, k+1)}


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