Principio di Archimede

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Il principio di Archimede è un teorema riguardante l'interazione dei fluidi con i corpi che vi sono immersi.
È così detto in onore di Archimede di Siracusa, matematico e fisico greco, vissuto nel III secolo a.C. che lo enunciò nella sua opera Sui corpi galleggianti (nell'opera di Archimede si trattava però di un teorema, dedotto da un semplice postulato oggi dimenticato). Galileo Galilei nello scritto Discorso intorno alle cose che stanno in su l'acqua o che in quella si muovono (del 1612) difende il Principio di Archimede contro le erronee interpretazioni degli aristotelici.

Indice

1 Formulazione del principio
2 Condizioni di equilibrio e non equilibrio di un corpo immerso
- 2.1 Corpo immerso in un liquido
- 2.2 Corpo immerso nell'atmosfera (o in un altro gas)
3 Esempi e applicazioni del principio di Archimede
4 Eureka!
5 Note
6 Voci correlate
7 Collegamenti esterni

[modifica] Formulazione del principio

« Un corpo immerso (totalmente o parzialmente) in un fluido riceve una spinta (detta forza di galleggiamento) verticale (dal basso verso l'alto) pari al peso di una massa di fluido di forma e volume uguale a quella della parte immersa del corpo. Il punto di applicazione della forza di Archimede, detto centro di spinta, si trova sulla stessa linea di gradiente della pressione su cui sarebbe il centro di massa della porzione di fluido che si trovasse ad occupare lo spazio in realtà occupato dalla parte immersa del corpo. »

Tale forza è detta forza di Archimede o spinta di Archimede o ancora spinta idrostatica (nonostante non riguardi solo i corpi immersi in acqua, ma in qualunque altro fluido – liquido o gas).

Una formulazione più semplice del principio è la seguente:

	« Un corpo riceve dal basso verso l'alto una spinta pari al peso del volume di liquido spostato »

La spinta si applica al baricentro del corpo immerso ed è diretta, secondo l'equazione fondamentale dell'idrostatica, verso il piano dei carichi idrostatici (o piano a pressione relativa nulla), che nella maggioranza dei casi coincide con il pelo libero del liquido, ed è quindi diretta verso l'alto.

Archimede inventò la bilancia idrostatica, utilizzata per misurare il peso specifico dei liquidi. Sulla base di quelle rilevazioni, affermò:

	« Qualsiasi solido più leggero^[1] di un fluido, se collocato nel fluido, si immergerà in misura tale che il peso del solido sarà uguale al peso del fluido spostato »
	(I, 5)

	« Un solido più pesante^[2] di un fluido, se collocato in esso, discenderà in fondo al fluido e se si peserà il solido nel fluido, risulterà più leggero del suo vero peso, e la differenza di peso sarà uguale al peso del fluido spostato »
	(I, 7)

Il principio è quindi un caso particolare dell'equazione fondamentale dell'idrostatica, che vale finché il fluido può essere trattato come un materiale continuo, e questo avviene solo fintanto che le dimensioni dei corpi immersi sono abbastanza grandi rispetto alle dimensioni delle molecole del fluido.

Diversamente, il corpo (ad esempio dei granelli di polvere) è soggetto non più ad una spinta deterministica (di cui è noto modulo, direzione e verso, come quella di Archimede), ma ad una di carattere probabilistico che genera un moto Browniano.

[modifica] Condizioni di equilibrio e non equilibrio di un corpo immerso

Da un punto di vista matematico, la forza di Archimede può essere espressa nel modo seguente:

$F_A=\rho_{flu} \ g \ V$

essendo ρ_flu la densità (massa volumica) del fluido, g l'accelerazione di gravità e V il volume spostato (che in questo caso è uguale al volume del corpo). Allo stesso modo, il peso del corpo è dato da

$F_p=\rho_{sol} \ g \ V$

essendo ρ_sol la densità media del solido immerso.

La spinta è indipendente dalla profondità alla quale si trova il corpo.

La densità relativa (del corpo immerso nel fluido rispetto alla densità del fluido) è facilmente calcolabile senza misurare alcun volume:

Densità relativa = {Peso del corpo nello spazio vuoto} / {Peso del corpo nello spazio vuoto - Peso della parte immersa nel fluido}.

Il peso di un corpo immerso (parzialmente o totalmente) non è quello totale misurabile fuori dal liquido, ma il peso del volume di fluido spostato dalla parte immersa. Questa quantità riduce il peso del corpo (parte immersa e non nel fluido) quando si trova appeso ad un filo nello spazio vuoto.

[modifica] Corpo immerso in un liquido

Possono darsi tre casi (illustrati da sinistra a destra in figura):

Il corpo tende a cadere fino a raggiungere il fondo se la forza di Archimede è minore del peso, F_A < F_p, ovvero se ρ_flu < ρ_sol.
Il corpo si trova in una situazione di equilibrio se la forza di Archimede è uguale al peso, F_A = F_p, ovvero se ρ_flu = ρ_sol. Questo significa che se il corpo era in quiete rimarrà in quiete, mentre se era in moto si muoverà di moto decelerato fino a fermarsi per effetto dell'attrito.

Il corpo tende a risalire fino alla superficie dove galleggia se la forza di Archimede è maggiore del peso, F_A > F_p, ovvero se ρ_flu > ρ_sol.

In questo caso il volume immerso V_i sarà tale da spostare un volume di fluido che equilibri il peso del corpo, ovvero:

$\rho_{flu} \ g \ V_i =\rho_{sol} \ g \ V$

da cui si deriva la formula del galleggiamento:

$\frac{V_i}{V}=\frac{\rho_{sol}}{\rho_{flu}}$

La frazione di volume immerso è quindi uguale al rapporto tra le densità del corpo e del liquido. Nel caso di un iceberg che galleggia nel mare, la densità del ghiaccio è circa 917 kg/m³, mentre la densità dell'acqua salata è circa 1025 kg/m³; in base alla formula precedente, la percentuale di volume immerso è quindi del 89,3%.

[modifica] Corpo immerso nell'atmosfera (o in un altro gas)

Le considerazioni fatte sopra per i liquidi valgono anche per i gas, con due importanti differenze:

la densità dell'aria nell'atmosfera è oltre settecento volte minore di quella dell'acqua; questo fa sì che solo i corpi con densità molto bassa possono essere sollevati dalla spinta di Archimede.
- La maggior parte dei corpi ha una densità maggiore di quella dell'aria e per questo cade;
- Alcuni corpi con densità uguale a quella dell'aria galleggiano, come le nuvole;
- I corpi con densità minore dell'aria vengono portati verso l'alto, come i palloncini di Elio e le mongolfiere.
a differenza dei liquidi, la densità nei gas non è costante, ma è funzione della pressione, secondo la seguente espressione, derivata dalla legge dei gas perfetti

$\rho_{gas}=\frac{pM}{RT}$

essendo p la pressione del gas, M la sua massa molecolare e T la sua temperatura assoluta, mentre R=8.314 J/mole K è la costante dei gas. Poiché nell'atmosfera, la pressione diminuisce con la quota, anche la densità dell'aria è una funzione decrescente della quota: ρ=ρ(z).

Una mongolfiera con ρ_flu < ρ_sol salirà fino ad una quota a cui la densità dell'aria calda interna è uguale a quella dell'aria esterna.

[modifica] Esempi e applicazioni del principio di Archimede

Un fluido può essere inteso sia come liquido che come gas: una nave galleggia sull'acqua, ma anche una mongolfiera che sale verso l'alto è soggetta allo stesso principio. Una nave, anche se di ferro, essendo vuota (o meglio, piena d'aria), occupa un volume complessivo di materia (aria, ferro, plastica, legno e quant'altro compone una nave) che ha un certo peso; siccome lo stesso volume di sola acqua ha un peso maggiore, la spinta verso l'alto ricevuta dalla nave ne permette il galleggiamento; analogamente, una mongolfiera piena di aria calda o di elio, entrambi più leggeri dell'aria, risulta più leggera di quanto pesa il volume di aria che sposta, e quindi viene spinta verso l'alto.

Un sommergibile in emersione ha una densità media minore di quella dell'acqua. Per potersi immergere deve aumentare la sua densità fino ad un valore maggiore di quello dell'acqua allagando alcuni comparti interni. Per stabilizzarsi ad una certa profondità deve espellere una parte di quest'acqua in modo da raggiungere una densità pari a quella dell'acqua.

Diverse specie di pesci possono controllare in modo analogo il loro assetto subacqueo attraverso la vescica natatoria, che contiene aria. Comprimendo la vescica con l'azione dei muscoli riducono il loro volume e quindi la spinta di Archimede e possono scendere; rilasciando i muscoli la vescica si espande e possono invece risalire fino in superficie.

Leonardo da Vinci così spiegava il Principio di Archimede quando propose la costruzione di un ponte canale per Firenze a Ludovico il Moro: "il gran peso della barca che passa per il fiume sostenuto dall'arco del ponte, non cresce peso a esso ponte, perché la barca pesa di punto quanto il peso dell'acqua che tal barca caccia dal suo sito".

[modifica] Eureka!

Secondo la leggenda, riportata nel De Architectura di Marco Vitruvio Pollione questa parola che vuol dire "Ho trovato!" in greco antico, sarebbe stata pronunciata da Archimede un giorno mentre faceva il bagno. In quella circostanza, immergendosi nella vasca avvertì la spinta idrostatica dell'acqua comprendendone la causa. Con questa intuizione per la felicità Archimede sarebbe uscito nudo dalla vasca e avrebbe cominciato a correre per le strade gridando "eureka!".