Funzione di verosimiglianza

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La funzione di verosimiglianza in statistica è una funzione di probabilità condizionata, considerata funzione del suo secondo argomento, mantenendo fissato il primo argomento; formalmente è una funzione:

$\ b\mapsto P(A|B=b)$

si definisce ancora funzione di verosimiglianza ogni funzione proporzionale a tale probabilità. Dunque, la funzione di verosimiglianza per $\ B$ è la classe delle funzioni:

$\ \mathcal{L}(b|A)=\alpha P(A|B=b)$ ,

per ogni costante $\ \alpha>0$ . A causa di ciò, l'esatto valore di $\ \mathcal{L}(b|A)$ non è in generale rilevante; ciò che rileva sono rapporti nella forma: $\ \mathcal{L}(b_{2}|A)/\mathcal{L}(b_{1}|A)$ , invarianti rispetto alla costante di proporzionalità.

A livello interpretativo, l'uso di una funzione di verosimiglianza trae giustificazione dal teorema di Bayes, in base al quale, per due qualsiasi eventi $\ A$ e $\ B$ :

$\ P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

dove sia $\ P(A|B)$ che $\ \frac{P(A|B)}{P(A)}$ sono funzioni di verosimiglianza. L'uso di funzioni di verosimiglianza ai fini dell'inferenza statistica costituisce un tratto distintivo dell'inferenza classica, o frequentista; esso rappresenta inoltre una fondamentale differenza rispetto alla scuola dell'inferenza bayesiana, in quanto lo statistico bayesiano conduce inferenza tramite la probabilità $\ P(B|A)$ nell'espressione sopra.

Indice

1 Cenni storici
2 Funzione di verosimiglianza per un modello parametrico
3 Bibliografia
4 Voci correlate

[modifica] Cenni storici

Alcune idee relative alla funzione di verosimiglianza sembrano essere state introdotte da T. N. Thiele in un lavoro del 1889. Il primo contributo in cui il concetto di funzione di verosimiglianza è esplicitamente formulato è tuttavia dovuto a Ronald Fisher ("On the mathematical foundations of theoretical statistics", 1922). In tale lavoro, Fisher usa inoltre l'espressione metodo della massima verosimiglianza; argomenta inoltre contro il ricorso alla condizionata nella forma $\ P(B|A)$ nell'espressione sopra, da lui ritenuta ingiustificabile a causa dell'elemento di soggettività introdotto tramite la probabilità a priori (nel linguaggio che ora è proprio della statistica bayesiana) $\ P(B)$ .

[modifica] Funzione di verosimiglianza per un modello parametrico

Il metodo della massima verosimiglianza ha le sue applicazioni più rilevanti nella prassi come metodo di stima di modelli parametrici. Considerando un insieme di osservazioni $\ \left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{n}$ , e una famiglia di funzioni di densità (o di massa, nel caso di distribuzioni discrete), parametrizzate tramite il vettore $\ \vartheta$ :

$\ x\mapsto f(x|\vartheta)$

la funzione di verosimiglianza associata è:

$\ \mathcal{L}\left(\vartheta|\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{n}\right)=f\left(\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{n}|\vartheta\right)$

Nel caso in cui, come normalmente si ipotizza, gli $\ x_i$ siano identicamente e indipendentemente distribuiti, inoltre:

$\ \mathcal{L}\left(\vartheta|\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{n}\right)=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i}|\vartheta)$

Poiché l'espressione sopra può risultare scarsamente trattabile, specie nei problemi di massimizzazione collegati al metodo della massima verosimiglianza, spesso risulta preferibile lavorare sul logaritmo della funzione di verosimiglianza, in gergo chiamata log-verosimiglianza:

$\ L\left(\vartheta|\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{n}\right)=\ln\mathcal{L}\left(\vartheta|\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}\ln f\left(x_{i}|\vartheta\right)$

[modifica] Bibliografia

Fisher, R. (1922), On the Mathematical Foundations of Theoretical Statistics, Philosophical Transactions of the Royal Society A(222), 309-368
Lauritzen, S.L. (1999), Aspects of T. N. Thiele's Contributions to Statistics
D.C. Boes, F.A. Graybill, A.M. Mood (1988), Introduzione alla Statistica, McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0661-7, il testo di riferimento per i fondamenti della statistica matematica; contiene diversi capitoli sui metodi di ricerca degli stimatore

[modifica] Voci correlate

Categoria: Statistica

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Funzione di verosimiglianza

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Indice

[modifica] Cenni storici

[modifica] Funzione di verosimiglianza per un modello parametrico

[modifica] Bibliografia

[modifica] Voci correlate

Views

Navigazione

comunità

Ricerca

Altre lingue