Equazione Fokker-Planck

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Una soluzione ad un'equazione di Fokker-Planck monodimensionale, con entrambe le direzioni e il termine di diffusione. La condizione iniziale è una funzione delta di Dirac in x=1, e la distribuzione si trasla in x=0.

L' equazione di Fokker-Plank descrive l'evoluzione temporale della funzione di densità di probabilità della posizione di una particella, e può essere generalizzata ad altri enti osservabili.^[1] Prende il nome da Adriaan Fokker e da Max Planck ed è anche conosciuta come equazione avanzata di Kolmogorov. Il primo impiego dell'equazione di Fokker-Plank fu la descrizione statistica del moto browniano di una particella in un fluido: in una dimensione spaziale x, l'equazione di Fokker-Plank per un processo con direzione D₁(x,t) e diffusione D₂(x,t) è:

$\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=-\frac{\partial}{\partial x}\left[ D_{1}(x,t)f(x,t)\right] +\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[ D_{2}(x,t)f(x,t)\right]$

Più in generale, la probabilità tempo-dipendente della distribuzione potrebbe dipendere da un set di $\ N$ macrovariabili $\ x_i$ . La forma generale dell'equazione di Fokker-Plank è quindi:

$\frac{\partial f}{\partial t} = -\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ D_i^1(x_1, \ldots, x_N) f \right] + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} \left[ D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) f \right],$

dove $D 1$ è il vettore di direzione e $D 2$ il tensore di diffusione, quest'ultimo dei quali risulta dalla presenza della forza stocastica.

Indice

1 Relazioni tra equazioni con differenziale stocastico
- 1.1 Esempi
2 Caso del moto browniano
- 2.1 Considerazioni di calcolo
3 Soluzione
4 Note
5 Bibliografia
6 Voci correlate
7 Collegamenti esterni

[modifica] Relazioni tra equazioni con differenziale stocastico

L'equazione di Fokker-Plank può essere utilizzata per calcolare la probabilità delle densità delle equazioni differenziali stocastiche. Considerando l'equazione differenziale di Itō

$\mathrm{d}\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t) \,\mathrm{d}t + \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t)\, \mathrm{d}\mathbf{W}_t,$

dove $\mathbf{X}_t \in \mathbb{R}^N$ è lo stato e $\mathbf{W}_t \in \mathbb{R}^M$ è un processo di Wiener M-dimensionale standard. Se la distribuzione iniziale è $\mathbf{X}_0 \sim f(\mathbf{x},0)$ , allora l'ampiezza di probabilità $f(\mathbf{x},t)$ dello stato $\mathbf{X}_t$ è dato da un'equazione Fokker-Plank con direzione e termini di diffusione

$D^1_i(\mathbf{x},t) = \mu_i(\mathbf{x},t)$

$D^2_{ij}(\mathbf{x},t) = \frac{1}{2} \sum_k \sigma_{ik}(\mathbf{x},t) \sigma_{kj}^\mathsf{T}(\mathbf{x},t).$

Similmente, una equazione di Fokker-Plank può essere derivata per l'equazione differenziale stocastica di Stratonovich. In questo caso, i termini di direzione provocati dal suono si rivelano se la lunghezza del suono è stato-dipendente.

[modifica] Esempi

Un processo di Weimer scalare standard è generato dall'equazione stocastica differenziale

$\ \mathrm{d}X_t = \mathrm{d}W_t.$

Ora il termine di direzione è zero e il coefficiente di diffusione è 1/2 e l'equazione di Fokker-Plank corrispondente è

$\frac{\partial f(x,t)}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f(x,t)}{\partial x^2},$

che è la forma più semplice di equazione di diffusione.

[modifica] Caso del moto browniano

Nel caso di una particella che si muova nel quadro dell'equazione di Smoluchowski (che concerne le particelle tali che $\gamma v\gg m a$ , tipicamente le molecole o gli oggetti di massa "trascurabile" (molecole atmosferiche, proteine in biologia... ):

$\dot{X}+\frac{F(X)}{\gamma}=\sigma B$

ove B è un rumore bianco, $\textstyle \gamma$ il coefficiente di viscosità e F(x) un campo di forze. Se p(x,t) è la probabilità di trovare la particella nel punto x all'istante t, per applicazione del lemma di Itô si ottiene:

$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=\frac{\sigma^2}{2\gamma^2} \triangle p (x,t) +\frac{F(x)}{\gamma}.\nabla p(x,t)$

ove $\textstyle \frac{\sigma^2}{2\gamma^2}=D$ è il coefficiente di diffusione.

Una particolare equazione di Fokker-Planck permette, con delle condizioni a contorno e nell'origine adeguate, di studiare il movimento browniano di una particella in un campo di forze.

[modifica] Considerazioni di calcolo

Il moto browniano segue l'equazione di Langevin, che può essere risolta per molte differenti forzature stocastiche, che risultano essere mediate (il metodo Monte Carlo, insieme canonico in dinamica molecolare). Tuttavia, al posto di questo approccio intensivo di calcolo, si può utilizzare l'equazione di Fokker-Planck e considerare $f(\mathbf{v}, t)$ , ossia la funzione di probabilità di densità di una particella che ha una velocità nell'intervallo $(\mathbf{v}, \mathbf{v} + d\mathbf{v})$ , quando inizia il suo moto con $\mathbf{v}_0$ a tempo=0.

[modifica] Soluzione

Essendo un'equazione differenziale alle derivate parziali, l'equazione di Fokker-Planck può essere risolta analiticamente solo in casi particolari. Un'analogia formale di questa equazione con l'equazione di Schrödinger consente di usare un operatore tecnico speciale conosciuto dalle meccaniche quantiche per la sua soluzione in un certo numero di casi. In molte applicazioni, si è solo interessati allo stato costante di probabilità della distribuzione $f 0 (x)$ , che può essere trovata da $\dot{f}_0(x)=0$ . Il calcolo dei tempi di passaggio iniziale principale e le probabilità di scissione possono essere ridotte alla soluzione di un'ordinaria equazione differenziale che è intimamente legata all'equazione di Foker-Planck.

[modifica] Note

^ Leo P. Kadanoff. Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization . World Scientific, 2000.

[modifica] Bibliografia

Hannes Risken, "The Fokker–Planck Equation: Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.

Crispin W. Gardiner, "Handbook of Stochastic Methods", 3rd edition (paperback), Springer, ISBN 3-540-20882-8.

[modifica] Voci correlate

Equazione di Kolmogorov backward
Equazione di Boltzmann
Equazioni di Navier-Stokes
Equazione di Vlasov

[modifica] Collegamenti esterni

Fokker–Planck equation on the Earliest known uses of some of the words of mathematics

Categorie: Equazioni | Processi stocastici

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