Consistenza (logica matematica)
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In logica matematica una teoria formale si dice consistente o coerente se non è contraddittoria. A priori si distiguono due livelli di consistenza:
- consistenza sintattica se nella teoria non si può dimostrare contemporaneamente una formula ben formata e la sua negazione.
- consistenza semantica se la teoria ammette almeno un modello
Si dimostra che per una teoria del primo ordine ciascuno dei due tipi di consistenza implica l'altro. Dimostrare una delle due implicazioni è semplice mentre dimostrare che una teoria sintatticamente consistente ammette sempre un modello non è banale e richiede l'utilizzo dell'assioma della scelta per famiglie numerabili di insiemi.
L'esempio più semplice di teoria del primo ordine non consistente è dato dalla teoria che ha un unico simbolo predicativo p e come unico assioma:
