Combinazione lineare

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In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la combinazione lineare è la composizione che caratterizza algebricamente le strutture di spazio vettoriale. In particolare dati due vettori $v 1$ e $v 2$ una loro combinazione lineare è data da ogni scrittura del tipo

$\ a_1 v_1 + a_2 v_2 \ ,$

nella quale $a 1$ e $a 2$ sono due scalari che si possono scegliere ad arbitrio nel campo sul quale è definito lo spazio. L'insieme di tutte le combinazioni lineari di un dato insieme S di vettori, finito o infinito, formano un sottospazio vettoriale. Questo fatto consente di restringere a opportuni sottospazi le considerazioni che riguardano vettori particolari e che si avvalgono solo delle loro caratteristiche algebriche (in pratica questo può corrispondere ad una riduzione del numero delle dimensioni nelle quali si opera). I vantaggi di una tale circoscrizione dell'ambito dello studio si riscontrano per le sottostrutture di ogni specie di struttura algebrica (sottogruppi per la specie dei gruppi, sottoanelli per la specie degli anelli, ... ). Da tali vantaggi nasce l'importanza della nozione di sottostruttura.

Indice

1 Definizioni
- 1.1 Combinazione lineare
- 1.2 Sottospazio generato
2 Proprietà
3 Esempi
4 Generalizzazioni
5 Voci correlate

[modifica] Definizioni

[modifica] Combinazione lineare

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ . Consideriamo poi un insieme $S = \{v_1,\ldots,v_n\}$ di vettori di $V$ . Una combinazione lineare di questi è il vettore individuato dalla seguente scrittura

$a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n$

dove $a_1,\ldots,a_n$ sono scalari, cioè elementi di $K$ . Gli scalari nella precedente espressione possono essere scelti ad arbitrio e sono detti coefficienti della combinazione lineare.

In genere, cioè per una generica scelta dei vettori $v i$ , il vettore

$v = a_1v_1+\ldots a_nv_n. \,\!$

non determina univocamente la combinazione lineare, cioè la sequenza dei suoi coefficienti: per molte scelte di S lo stesso $v$ può essere il risultato di combinazioni lineari differenti degli stessi vettori $v_1,\ldots, v_n$ .

[modifica] Sottospazio generato

I vettori $v$ che si ottengono come combinazioni lineari di $n$ vettori fissati, al variare degli scalari $a_1,\ldots, a_n$ , formano un sottospazio vettoriale di $V$ . Infatti ogni combinazione lineare di combinazioni lineari di dati vettori si puo` esprimere come una combinazione lineare degli stessi vettori. Il sottospazio ottenuto con le combinazioni lineari dei vettori di $S = \{v_1,\ldots,v_n\}$ viene indicato con

$\mathrm{Span}( v_1 ,\ldots, v_n) := \{ a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \ |\ a_1 ,\ldots, a_n \in K \} \,\!$

e viene detto sottospazio generato da S o span lineare di S.

Dati un sottospazio $W$ di $V$ ed un insieme di vettori $v_1,\ldots, v_n$ , si dice che questi vettori sono dei generatori di $W$ se

$W = \mathrm{Span}( v_1 ,\ldots, v_n).\,\!$

Tutte le definizioni date possono essere estese facilmente ad una famiglia qualsiasi di vettori

$\{v_i\}_{i\in I}$

indicizzata da una $i$ che varia in un insieme $I$ di cardinalità arbitraria (finita, numerabile, ...): una combinazione lineare è semplicemente una combinazione che si serve di un numero finito di questi, ed il sottospazio generato è sempre definito come l'insieme dei risultati di tali composizioni.

[modifica] Proprietà

[modifica] Sottospazio più piccolo

Il sottospazio generato

${\rm Span}(v_1,\ldots,v_n)\,\!$

è il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono i vettori $v_1,\ldots,v_k$ . Più precisamente, si puo` esprimere come intersezione di tutti i sottospazi contenenti questi vettori. Lo stesso risultato vale per un insieme infinito di vettori.

[modifica] Sottospazio e generatori

La trasformazione di un insieme di vettori di V nel sottospazio da loro generato, cioè la funzione Span, costituisce un esempio di funzione di chiusura. Come per tutte queste funzioni di insieme, vale la seguente proprietà di isotonia: se $S$ e $T$ sono insiemi di vettori di $V$ tali che $S\subset T$ , allora

${\rm Span}(S)\subseteq{\rm Span}(T).$

In particolare, se $S = \{v_1,\ldots,v_n\}$ e $T=\{v_1,\ldots,v_n, v_{n+1}\}$ è ottenuto da $S$ aggiungendo un vettore $v n + 1$ , il sottospazio generato può restare invariato o diventare più esteso. Come mostra la relazione seguente, il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore $v n + 1$ è già contenuto in questo:

$\textrm{Span}(v_1, \ldots, v_{n+1}) = \textrm{Span} (v_1, \ldots, v_n) \Longleftrightarrow v_{n+1} \in \textrm{Span}(v_1, \ldots, v_n).$

[modifica] Basi e dimensione

Per approfondire, vedi la voce base (algebra lineare).

Un insieme di vettori è una base del sottospazio che genera se e solo se questi sono linearmente indipendenti. Se i vettori non sono indipendenti, esiste un loro sottoinsieme formato da vettori indipendenti: un sottoinsieme di questo tipo può essere trovato tramite l'algoritmo di estrazione di una base.

Da quanto appena detto segue quindi che la dimensione di un sottospazio generato da $n$ vettori è al più $n$ , ed è proprio $n$ se e solo se questi sono indipendenti.

[modifica] Esempi

In $\R^2$ , i vettori $(1,2)$ e $(2,4)$ non sono indipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una retta. formalmente scriviamo $S p a n {(1,2),(2,4)} = S p a n {(1,2)}$ . I vettori $(1,2)$ e $(2,1)$ invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro $\R^2$ : uno spazio di dimensione $n$ ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione $n$ , e perciò $Span{(1,2), (2,1)} = \R^2$ .
In $\R^3$ , i vettori $(1,2,3)$ , $(4, - 2,1)$ , $(3, - 4, - 2)$ sono dipendenti, perché l'ultimo è la differenza dei primi due. Abbiamo quindi $S p a n {(1,2,3),(4, - 2,1),(3, - 4, - 2)} = S p a n {(1,2,3),(4, - 2,1)}$ , e poiché questi due vettori sono indipendenti, sono una base del loro span che ha dimensione 2, ovvero è un piano.

[modifica] Generalizzazioni

Le definizioni di combinazione lineare e span lineare possono essere generalizzate dagli spazi vettoriali ai moduli o agli anelli. Ad esempio, si può parlare di combinazione lineare $a m + b n$ di due numeri interi $m$ e $n$ , dove $a$ e $b$ sono coefficienti interi.

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Algebra lineare

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