Automorfismo esterno

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Si dice automorfismo esterno un automorfismo che non è un automorfismo interno ovvero tale che non esista alcun elemento del gruppo che possa indurre per coniugio l' automorfiso. Gli automorfismi interni, si possono ottenere come quoziente del gruppo degli automorfismi rispetto al sottogruppo normale degli automorfismi interni. L'esempio classico è quello del gruppo di Klein che essendo abeliano non ha automorfismi interni non banali. Ci sono però 5 automorfismi esterni: le permutazioni del gruppo simmetrico su tre oggetti diverse dall' identità che scambiano fra loro i 3 elementi di periodo 2.

In un gruppo ciclico con n elementi ci sono generatori ed un automorfismo diverso dall' identità è necessariamente esterno ed è completamente determinato stabilendo l' immagine di un generatore. Ma allora il gruppo degli automorfismi di un gruppo ciclico di ordine n ha ordine (dove è la funzione di Eulero).

Nel gruppo simmetrico su n oggetti, se n è diverso da 6, gli automorfismi sono solo interni.