Polinom

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A matematikában a polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például:

p(x,y,z,u) = 5x⁴y⁶ - 3xz³+11y¹⁵u⁷

q(x) = 2x² + 6x + 9

r(x,y) = x³ + 3x²y + 3x²y + y³

A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomonak (vagy egytagoknak) nevezzük (például p-nél az 5x⁴y⁶, a 3xz³ és az 11y¹⁵u⁷ tagok).

[szerkesztés] A polinomokról általában

A monomokban lévő számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk. A változókat néha határozatlanoknak. Az egyes monomokban a változók kitevőinek összege adja meg az adott monom fokát. A polinom fokának a benne lévő monomok fokának maximumát tekintjük.

Általában ha egy változó az első hatványon szerepel, akkor nem szokták a kitevőbe kiírni az 1-et. A 0 fokú monomokat konstans polinomoknak nevezzük.

Egyneműnek nevezünk egy monomot, ha csak együtthatóban különböznek. Polinomokat úgy adunk össze, hogy az egynemű egytagok együtthatóit összeadjuk:

$\begin{matrix} p(x,y) & = & 5x^2y & + 2xy^2 & + 6 y^3\\ q(x,y,z) & = & 2x^2y & - 7xy^2 & + 8yz^6\\ & & & & \\ (p+q)(x,y,z) & = & 7x^2y & -5xy^2 & + 6y^3 & + 8yz^6 \end{matrix}$

A szorzás úgy történik, hogy „minden tagot minden taggal beszorzunk” és a keletkező szorzatokban az azonos változók hatványait az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával számítjuk ki. Például

$p(x,y)= x^2 +xy\,$

$q(x,z)=3x^3-7z^2\,$

$(p\cdot q)(x,y,z)=x^2\cdot 3x^3+x^2\cdot(-7z^2)+xy\cdot 3x^3+xy\cdot (-7z^2)=\,$

$=3x^5+(-7)x^2z^2+3x^4y+(-7)xyz^2\,$

A polinomok legegyszerűbb megjelenési formái az egyváltozós polinomok. Például az

$8x^3-7x^2+36\,\!$

egy harmadfokú, egyhatározatlanú polinom. Az x fokszáma szerint csökkenő sorrendbe írva, az első monom foka 3, a másodiké 2, a harmadiké 0. A harmadfokú tag együtthatója 8, a másodfokúé -7, a konstans tag 36.

Egy másik jellegzetes polinomfajta a homogén fokszámú polinomok, melyekben a monomok foka egyenlő. Ilyenek szerepelnek például a binomiális tételben:

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\,$

A polinomok együtthatói tetszőleges gyűrűből kerülhetnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonathatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test. A középiskolában egész, racionális vagy valós együtthatós polinomokkal találkozhatunk. Az algebra alaptételében komplex együtthatós polinomokról van szó. Hasznosak még a kvaternió együtthatós (tehát lényegében mátrix együtthatójú), vagy a moduló m maradékosztálybeli együtthatós (véges testbeli) polinomok is.

[szerkesztés] Egyhatározatlanú polinomok és a köztük lévő műveletek

Az egyhatározatlanú polinomok tekinthetők olyan véges sok nemnulla elemmel rendelkező sorozatoknak, melyek elemei egy R gyűrűből kerülnek ki. Ekkor a sorozat elemeit az annyiadik fokú tag együtthatóját jelenti:

$x^2+5x+6 \cong (6,5,1,0,0,0,0,...)$

Nemnulla egyhatározatlanú polinom foka a legkisebb nemnulla indexe (az indexelész 0-ról indítjuk). Például, ha a ∈ R nem nulla, akkor (a,0,0,0,0,...) konstanspolinom foka 0. A (0,0,0,0,...) nullapolinom foka nincs értelmezve (nincs legkisebb indexű nemnulla eleme). A fok jele, mint fent: deg(p).

[szerkesztés] Összeadás

Az ilyen, sorozatként interpretált polinomok esetén az összeadás világos: pontonként történik:

$(p+q)_i=p_i+q_i\,$

Pl:

$(x^3-5x+10)+(2x^3-x^2+x-10)=3x^3-x^2-4x\,$

[szerkesztés] Szorzás

A polinomszorzás a sorozatok konvolúciószorzata lesz: átlónként kell összeszorozni az elemeket, majd összeadni:

$p\cdot q= \begin{matrix} p_0q_0 &p_0q_1 & p_0q_2 & p_0q_3 & ...\\ p_1q_0 &p_1q_1 & p_1q_2 &...\\ p_2q_0 &p_2q_1 & ...\\ p_3q_0 & ...\\ ... \end{matrix}=$

$= (p_0q_0,\quad p_0q_1+p_1q_0,\quad p_0q_2+p_1q_1+p_2q_0,\;...)=\left(\sum\limits_{k,l:\,k+l=i}^{i}p_kq_l\right)_{i\in\mathbb{N}}$

Hiszen világos, hogy a szorzatban azonos kitevőt adó monomokat (lehet) kell összeadni.

[szerkesztés] Polinomgyűrű

R[X] ezzel a két művelettel gyűrűt alkot. Ha R egységelemes, akkor R[X] egységelemes gyűrű. Ha R integritási tartomány (kommutatív, nemnulla egységelemes, nullosztómentes gyűrű), akkor R[X] is az.

[szerkesztés] Maradékos osztás

[szerkesztés] Gyűrű felett

Ha R kommutatív gyűrű, nemnulla egységelemmel, értelmes a maradékos osztás a következő korlátozott módon. Minden a,b ∈ R[X]-re, ha b főegyüthatója egység (azaz az egységelem osztója), egyértelműen létezik olyan q,r ∈ R[X], hogy

1. $a=q\cdot b + r\,$ és

2. $\mathrm{deg}(r) < \mathrm{deg}(b)\,$ vagy $r = 0\,$

Például Z[X]-ben x³ + x = x $\cdot$ x² + x (itt deg(x) < deg(x²)).

A Z[X]-beli korlátozott maradékos osztás nem összekeverendő az egész számok körében végezhető korlátlan maradékos osztással. Például világos, hogy

3x + 4 =3 $\cdot$ (x+1)+1, ahol |1| < |3|

azonban – bár az 1, 3, 4 számok polinomok Z[X]-ben – világos, hogy deg(1) = deg(3), hiszen mindekettő konstanspolinom. A különbség abból fakad, hogy Z-ben az osztás normája az abszolútérték, Z[X]-ben viszon a polinom foka, mely minden nemnulla konstanspolinomra 0.

[szerkesztés] Test felett

Ha T kommutatív test, akkor minden a,b ∈ T[X]-re, egyértelműen létezik olyan q,r ∈ T[X], hogy

1. $a=q\cdot b + r\,$ és

2. $\mathrm{deg}(r) < \mathrm{deg}(b)\,$ vagy $r = 0\,$

[szerkesztés] Polinomok számelmélete

Az alábbiakban a test feletti egyhatározatlanú polinomok számelméleti tulajdonságait vizsgáljuk. A test feletti polinomok ugyanis integritási tartományt alkotnak, így értelmesek benne a számelméleti fogalmak.

Ha f és g polinomok, akkor azt mondjuk, hogy g osztója f-nek, ha létezik egy olyan h polinom, hogy:

$f(x)= g(x)\cdot h(x)\,$

Tehát ez azt jelenti, hogy f-et maradékosan elosztva g-vel a nullapolinomot kapjuk maradul.

[szerkesztés] Az oszthatóság tulajdonságai

$\, \!f(x)|g(x)$ és $\, \!g(x)|h(x)$ akkor $\, \!f(x)|h(x)$
$\, \!f(x)|g(x)$ akkor $\, \!f(x)|g(x)h(x)$ ha $h(x)\neq 0$
$\, \!f(x)|g_1(x)$ és $\, \!f(x)|g_2(x)$ akkor $\, \!f(x)|g_1(x)h_1(x)+g_2(x)h_2(x)$ ahol $\, \!h_1(x)$ és $\, \!h_2(x)$ tetszőlegesek.
$\, \!f(x)|g(x)$ akkor $\, \!f(x)|cg(x)$ és $\, \!f(x)|cg(x)$ ahol $\, \!c$ tetszőleges konstans.
Ha $\, \!f(x)|g(x)$ és $\, \!g(x)|f(x)$ akkor $\, \!f(x)=cg(x)$

[szerkesztés] Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

$\, \!h(x)$ -re azt mondjuk, hogy $\, \!f(x)$ és $\, \!g(x)$ közös osztója, ha $\, \!h(x)$ osztója $\, \!f(x)$ -nek és $\, \!g(x)$ -nek Egy $\, \!d(x)$ polinomot az $\, \!f(x)$ és $\, \!g(x)$ polinomok legnagyobb közös osztójának nevezzük, ha $\, \!d(x)$ $\, \!f(x)$ és $\, \!g(x)$ közös osztója, valamint osztható $\, \!f(x)$ és $\, \!g(x)$ bármely közös osztójával. Jelölés: $\, \!d(x)=(f(x),g(x))$

Hasonló módon $\, \!h(x)$ -re azt mondjuk, hogy $\, \!f(x)$ és $\, \!g(x)$ közös többszöröse, ha $\, \!h(x)$ -nek osztója $\, \!f(x)$ -nek és $\, \!g(x)$ is. Egy $\, \!e(x)$ polinomot az $\, \!f(x)$ és $\, \!g(x)$ polinomok legkisebb közös többszörösének nevezzük, ha $\, \!e(x)$ $\, \!f(x)$ és $\, \!g(x)$ közös többszöröse, valamint osztja $\, \!f(x)$ és $\, \!g(x)$ bármely közös többszörösét.

[szerkesztés] Tulajdonságok

Tetszőleges $\, \!f(x)$ és $\, \!g(x)$ polinomoknak mindig van legnagyobb közös osztója, illetve amennyiben ezekből többet találunk, akkor azok csak egy konstans szorzóban térnek el egymástól.

Az egész számok körében a legnagyobb közös osztó gyors meghatározására kitalált Euklideszi-algoritmus a polinomok körében is működik.

[szerkesztés] Irreducibilis polinomok

Egy $n$ -edfokú polinomra akkor mondjuk, hogy irreducibilis, ha az nem bontható fel két, n-nél kisebb fokú polinom szorzatára. Nevezhetjük őket a polinomok között prímeknek. Fontos azonban, hogy mely számok teste felett értjük az irreducibilitást, ugyanis például az $\, \!x^2-2$ polinom a valós számok teste felett irreducibilis, a komplexé felett pedig nem.

Állítások irreducibilis polinomokra:

Minden elsőfokú polinom irreducibilis.
Ha $\, \! f(x)$ irreducibilis, akkor tetszőleges $c\ne 0$ konstans esetén $\, \! cf(x)$ is az.
Ha $\, \! p(x)|f(x)g(x)$ és $\, \! p(x)$ irreducibilis, akkor $\, \! p(x)|f(x)$ vagy $\, \! p(x)|g(x)$ .
Minden $\, \! f(x)$ polinomhoz megadhatók konstans szorzó erejéig egyértelműen olyan $p_1(x),p_2(x),\dots p_n(x)$ polinomok, hogy $f(x)=p_1(x)p_2(x)\dots p_n(x)$ teljesül.

[szerkesztés] Polinomfüggvények

Ha R[X] az R gyűrű feletti polinomgyűrű és p = p(x) polinom, akkor a p által meghatározott polinomfüggvényen a

$p:R\longrightarrow R;\quad x\mapsto p(x)$

függvényt értjük.

Példák:

1. a komplex számok feletti q(z) = iz⁴ + 3iz - 5 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

g: C $\rightarrow$ C; z $\mapsto$ iz⁴ + 3iz - 5

függvény

2. a moduló 5 maradékosztályok feletti r(x) = x⁴ polinom által meghatározott polinomfüggvény a

h: Z₅ $\rightarrow$ Z₅; x $\mapsto$ x⁴

Véges gyűrű feletti polinomfüggvény nem jelöli ki egyértelműen azt a polinomot, melyből a polinomfüggvény keletkezett. A 2. példánál h nem más, mint a

$h_1(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{ ha } x=0\\ 1 & \mbox{ ha } x=1,2,3,4 \end{matrix}\right.$

függvény éspedig a kis Fermat-tétel miatt. De ez ugyanaz, mint a h₂(x)= x⁸ polinomfüggvény, amely azonban más polinom által meghatározott. S míg x⁴ $\ne$ x⁸ (mint polinom), addig h₁ = h₂, mint függvény. Ez amiatt van, hogy míg polinomból végtelen sok van, addig R-ből R-be menő függvényből csak nⁿ db, amennyiben R számossága az n véges szám. Végtelen gyűrűkben már azonban igaz a kölcsönös meghatározottság.

[szerkesztés] Helyettesítési érték, zérushely, gyök

Ha p ∈ R[X] polinom és α ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy p helyettesítési értéke α-ban a β ∈ R elem, ha a p által meghatározott polinomfüggvény α-n a β-t veszi föl értékül. Ezt a következő képpen jelöljük:

$p(\alpha)=\beta \,$

Ha p osztható az (x - α) elsőfokú polinommal, azaz létezik olyan q ∈ R[X] polinom, hogy

$p(x)=(x-\alpha)\cdot q(x)$

akkor azt mondjuk, hogy α ∈ R elem gyöke a p polinomnak és hogy (x-α) gyöktényezője p-nek.

Az x₀ ∈ R elem zérushelye a p polinomnak, ha x₀-ben a p helyettesítési értéke 0.

Bézout tétele – A p ∈ R[X] polinomnak az α ∈ R elem pontosan akkor gyöke, ha zérushelye.

A nemnulla polinom gyökeinek száma legfeljebb annyi, mint a fokszáma. A komplex számok körében ezen kívül még az is igaz, hogy egy nemkonstans polinomnak pontosan annyi gyöke van (a multiplicitással számolva) ahanyad fokú a polinom. Ez az algebra alaptétele.

A (multiplicitással számolva) pontosan n db gyökkel rendelkező n-edfokú polinomok felírhatók ún. gyöktényezős alakban:

$f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dots+a_1 x+a_0=a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)$

A jobb oldali alakban $a n$ a polinom főegyütthatójának, $x 1, x 2,..., x n$ pedig a polinom gyökeinek felelnek meg.

[szerkesztés] Helyettesítési érték kiszámítása – Horner-módszer

A gyökök meghatározására alacsony fokú (első, másod, harmad) polinomok esetében léteznek különféle egyszerű formulák – ehhez lásd a megoldóképlet című cikket – azonban magasabb fokúak esetében ez már igencsak nehézkes. Azt meghatározni azonban, hogy egy komplex szám gyöke-e egy adott polinomnak létezik egy módszer, amit Horner dolgozott ki. A módszer működésének megértéséhez vegyük észre, hogy a polinomok a következő alakban is felírhatók:

$p(x)=(\dots(a_nx+a_{n-1})x+\dots+a_1)x+a_0$

Tehát egy $\, \!\alpha$ komplex számról úgy tudjuk meg, hogy gyöke-e lesz-e a polinomunknak, hogy megnézzük a helyettesítési értékét az előző képlet szerint:

$p(\alpha)=(\dots(a_n\alpha +a_{n-1})\alpha +\dots+a_1)\alpha +a_0$

A módszer lényeges eleme az ún. Horner-séma lesz, azaz hogy ezt a fenti egyenletet táblázatba rendezzük azért, hogy a számolást meg tudjuk gyorsítani:

	$\, \!a_n$	$\, \!a_{n-1}$	$\, \!a_{n-2}$	$\dots$	$\, \!a_0$
$\, \!\alpha$	$\, \!a_n$	$\, \!\alpha a_n+a_{n-1}$	$\, \!\alpha(\alpha a_n+a_{n-1})+a_{n-2}$	$\dots$	$\, \!p(\alpha)$

A fölső sorban a polinom együtthatói állnak. Az alsó sor első eleme a főegyüttható lesz, majd a következő tagokat úgy képezzük, hogy az előző tagot megszorozzuk $\, \!\alpha$ -val majd hozzáadjuk a soron következő együtthatót. Így tehát az alsó sor elemei megfelelnek a fenti képlet egyes zárójeleinek, tehát végül $\, \!a_0$ alatt $\, \!\alpha$ helyettesítési értéke áll.

Megjegyzések:

A Horner-séma második sorában szereplő számok éppen az $\, \!x-\alpha$ –val vett polinomosztás hányadosának együtthatói. Azaz ha egy gyököt megtaláltunk, szorzattá bonthatjuk a polinomunkat és az így kapott újabb polinomnak egy gyökét is próbálhatjuk megkeresni. Ezzel a módszerrel továbbhaladva eljuthatunk a polinom gyöktényezős alakjához.
Ha $\, \!\alpha$ helyettesítési értékére nem 0 jön ki akkor a kapott érték lesz az osztásunk maradéka.

Például vizsgáljuk meg, hogy a következő polinomnak gyöke-e a 3:

$\, \!x^3-5x^2+11x-15$

A feladathoz tartozó Horner-séma:

	1	-5	11	-15
3	1	3 $\cdot$ 1-5=-2	3 $\cdot$ (-2)+11=5	3 $\cdot$ 5-15=0

Tehát a 3 gyöke a polinomnak és az $\, \!x-3$ polinommal való leosztás után szintén a táblázatból leolvasva kapjuk, hogy a hányadospolinom az $\, \!x^2-2x+5$ lesz.

[szerkesztés] Gyökök és együtthatók közötti összefüggések

Legyenek a polinom együtthatói: $a_n,a_{n-1},\dots a_1,a_0$ , a gyökei pedig: $x_1,x_2,\dots x_n$ . Ekkor a polinom gyökei és együtthatói között a következő összefüggések állnak fenn:

$\frac{a_0}{a_n}(-1)^n=x_1x_2\dots x_n$

$\frac{a_1}{a_n}(-1)^{n-1}=(x_1 \dots x_{n-1}+\dots+x_2 \dots x_n)$

$\dots$

$\frac{a_{n-2}}{a_n}(-1)^2=x_1x_2+x_1x_3+\dots+x_{n-1}x_n$

$\frac{a_{n-1}}{a_n}(-1)=x_1+x_2+\dots+x_n$

Ezeket az összefüggéseket Viète-formuláknak nevezzük. Előállításuk úgy történik, hogy $\, \!p(x)$ gyöktényezős alakjában elvégezzük a beszorzást és összevetjük az így kapott együtthatókat az általános felírásból adódókkal.

Másodfokú polinomokra így kapjuk meg a formulákat:

$\, \!p(x)=a_2x^2+a_1x+a_0=a_2(x-x_1)(x-x_2)$

$\, \! a_2x^2+a_1x+a_0=a_2x^2-a_2x(x_1+x_2)+a_2x_1x_2$

Ezekből adódik tehát hogy:

$\, \!a_1=-a_2(x_1+x_2)$ és $\, \!a_0=a_2 x_1\cdot x_2$

[szerkesztés] Polinomok analízise

Polinomok deriváltja és integráltja könnyen számolható. Tehát vegyük az általánosan felírt polinom képletét:

$\sum_{i=0}^n a_i x^i$

Ennek az x szerinti deriváltja a következő:

$\sum_{i=1}^n a_i i x^{i-1}$

A határozatlan integráltja pedig ez:

$\sum_{i=0}^n {a_i\over i+1} x^{i+1}+c$

A polinomokat végtelen sorok formájában függvények közelítésénél is használatosak. Ekkor a függvényeket Taylor-sorba fejtve kapunk hozzájuk határértékben tartó hatványsorokat. Ha ezeknek a végtelen soroknak csak véges alakjait tekintjük, akkor beszélünk Taylor-polinomkról.

Két a racionális számok teste feletti polinom hányadosát racionális függvénynek vagy racionális törtfüggvénynek hívjuk. Ezeknek az integrálása az integrálszámítás egyik alapváltozata. A művelet elvégzéséhez a parciális törtekre bontás módszerét szükséges alkalmazni.

[szerkesztés] Interpoláció

Az interpoláció módszerének segítségével $\, \!n$ különböző komplex számpárra, vagyis $n$ pontra a komplex számsíkon illeszthető ( $\, \!n-1$ )-ed fokú polinom amely áthalad a megadott pontokon.

[szerkesztés] Bizonyítás

Legyenek az adott pontpárok a következők: $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots (x_n,y_n)$ . Először az egyértelműséget igazoljuk. Ha $\, \!p(x)$ és $\, \!q(x)$ két a feltételeknek eleget tevő polinom, akkor $\, \!p(x)-q(x)$ egy olyan legfeljebb ( $\, \!n-1$ )-ed fokú polinom, amelynek $x_1,x_2,\dots ,x_n$ gyöke. Az algebra alaptétele szerint ez csak akkor lehetséges, ha $p(x)-q(x)\equiv 0$ , vagyis $\, \!p(x)=q(x)$ .

Most konstruáljunk meg egy ilyen polinomot Lagrange módszerével. Ehhez konstruáljuk meg az ún. Lagrange-féle alappolinomokat:

$l_i(z)=\frac{(z-x_1)\dots (z-x_{i-1})(z-x_{i+1})\dots (z-x_n)}{(x_i-x_1)\dots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\dots (x_i-x_n)}$

Ezekre $\, \!l_i(x_i)=1$ és $\, \!l_i(x_j)=0$ , ha $i\ne j$ .

Tehát a $p(z)= \sum_{i=1}^n y_i l_i(z)$ polinom tejesíti a feltételeket.

[szerkesztés] Példa

Legyenek a pontok a következők: (-1;1), (0;2),(1;4) Ekkor ezek lesznek a Lagrange-féle alappolinomok:

$l_1(x)=\frac{(x-0) (x-1)}{(-1-0)(-1-1)}=\frac {1}{2}(x^2-x)$

$l_2(x)=\frac{(x+1) (x-1)}{(0+1)(0-1)}= -1(x^2-1)$

$l_3(x)=\frac{(x+1) (x-0)}{(1+1)(1-0)}=\frac {1}{2}(x^2+x)$

Ekkor a feltételeket kielégítő polinom ez lesz:

$p(x)=1\cdot (\frac {1}{2}(x^2-x))+2\cdot (-1(x^2-1))+4\cdot (\frac {1}{2}(x^2+x))=\frac {1}{2}x^2 + \frac {3}{2}x +2$

[szerkesztés] Történet

Az ax + by + cz + du egyenlet ábrázolása az ókori Kínában

a x + b y + c z + d u

egyenlet ábrázolása az ókori Kínában

x 2 + 2 x y + y 2 + 2 y z + z 2 + 2 z u + u 2 + 2 u x

egyenlet ábrázolása az ókori Kínában

A polinom gyökeinek meghatározása, vagyis különféle algebrai egyenletek megoldása már régóta a matematika fontos problémái közé tartozik. A mai praktikus jelölések a XV. században kezdtek el kifejlődni, addig általában az volt a szokás, hogy egy egyenletet szavakkal írtak le vagy az ókori Kínában például a változók szerint „ábrákat” készítettek róluk.

Az egyenlőségjelet először Robert Recorde használta a XVI. században, és ugyanebben az időben terjedt el a + jel használata az összeadásra, valamint a − jel használata a kivonásra. René Descartes volt az, aki elkezdte terjeszteni azt a ma is használt jelölésmódot, hogy a konstansok leírására az ábécé elejéről választunk betűket, míg a változókhoz az ábécé végéről. És ugyancsak ő volt az, aki először felső indexbe írta egy változó kitevőjét.

[szerkesztés] Források

Horváth Erzsébet: Lineáris algebra
Ribnyikov: A matematika története
Nagy Attila (BME-TTK) Lineáris algebra c. előadásai

Kategóriák: Algebra | Függvények

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Polinom

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Tartalomjegyzék

[szerkesztés] A polinomokról általában

[szerkesztés] Egyhatározatlanú polinomok és a köztük lévő műveletek

[szerkesztés] Összeadás

[szerkesztés] Szorzás

[szerkesztés] Polinomgyűrű

[szerkesztés] Maradékos osztás

[szerkesztés] Gyűrű felett

[szerkesztés] Test felett

[szerkesztés] Polinomok számelmélete

[szerkesztés] Az oszthatóság tulajdonságai

[szerkesztés] Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

[szerkesztés] Tulajdonságok

[szerkesztés] Irreducibilis polinomok

[szerkesztés] Polinomfüggvények

[szerkesztés] Helyettesítési érték, zérushely, gyök

[szerkesztés] Helyettesítési érték kiszámítása – Horner-módszer

[szerkesztés] Gyökök és együtthatók közötti összefüggések

[szerkesztés] Polinomok analízise

[szerkesztés] Interpoláció

[szerkesztés] Bizonyítás

[szerkesztés] Példa

[szerkesztés] Történet

[szerkesztés] Források

Views

Navigáció

részvétel

Keresés

Más nyelveken