Paire de Ruth-Aaron

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, une paire de Ruth-Aaron est constituée de deux entiers consécutifs (e.g. 714 et 715) pour lesquels les sommes des facteurs premiers de chaque entier sont égales à :

714 = 2 × 3 × 7 × 17

715 = 5 × 11 × 13

et 2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29

Si les facteurs premiers distincts sont seulement comptés, les premières paires de Ruth-Aaron sont :

(5, 6), (24, 25), (49, 50), (77, 78), (104, 105), (153, 154), (369, 370), (492, 493), (714, 715), (1682, 1683), (2107, 2108)

(Le nombre moindre de chaque paire est listé dans la la séquence A006145 de l'OEIS).

En comptant les facteurs premiers répétés (e.g. 8 = 2×2×2 et 9 = 3×3 avec 2+2+2 = 3+3), les premières paires de Ruth-Aaron sont :

(5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331)

(Le nombre moindre de chaque paire est listé dans la A039752).

Cest nombres ont été nommés par Carl Pomerance en l'honneur de Babe Ruth et Hank Aaron, deux joueurs de baseball parce que le nombre total de coups de circuit de la carrière en saison régulière de Babe Ruth était égal à 714, un record que Aaron éclipsa le 8 avril 1974, lorsqu'il frappa le 715^e coup de circuit de sa carrière. Pomerance était un mathématicien de l'Université de Géorgie au moment où Aaron dépassa le record de Ruth. Un des étudiants des collègues de Pomerance nota que les sommes des facteurs premiers de 714 et de 715 étaient égales.

[modifier] Triplets de Ruth-Aaron

Les triplets de Ruth-Aaron (recouvrant les paires de Ruth-Aaron) existent aussi. Le premier et le deuxième, lorsque l'on compte des facteurs premiers distincts :

89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419

89460295 = 5 × 4201 × 4259

89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389

et 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465

151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411

151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089

151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021

et 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589

Les deux premiers triplets de Ruth-Aaron lorsque l'on compte des facteurs premiers répétés :

417162 = 2 × 3 × 251 × 277

417163 = 17 × 53 × 463

417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499

et 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533

6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197

6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881

6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707

et 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428

En 2006, seuls les 4 triplets ci-dessus sont connus.

[modifier] Références

• (en) "Ruth-Aaron Triplets" et "Ruth-Aaron pairs revisited". The prime puzzles & problems connection.

• Portail des mathématiques