Dimension de Hausdorff

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La dimension de Hausdorff est un nombre réel positif, éventuellement l'infini, associé à tout espace métrique. Cette notion étend celle de dimension d'un espace vectoriel réel. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Samoilovich Besicovitch. Elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch.

Sommaire

1 Introduction informelle
2 Définition
3 Calcul pratique dans un cas particulier classique
4 Exemples
5 Liens internes

[modifier] Introduction informelle

Intuitivement, la dimension d'un ensemble à l'instar d'une partie d'un espace euclidien est le nombre de paramètres indépendants pour décrire un point dans cet ensemble. Ainsi a-t-on besoin d'un seul paramètre pour décrire un point sur une règle, de deux paramètres pour décrire la position d'un clou sur un mur, de trois paramètres pour décrire la position d'une balle de tennis dans l'espace, et plus généralement de n paramètres pour décrire un point dans $\R^n$ .

Comment atteindre cette donnée en utilisant uniquement la structure métrique ? Si on dispose de d paramètres pour repérer un point, pour l'approximer à $\varepsilon$ près, on devrait disposer d'un $O\left(\frac{1}{\varepsilon^d}\right)$ points. Soit X un espace métrique compact. Posons N(r) le nombre minimal de boules ouvertes de rayon r nécessaires pour recouvrir X. Lorsque $N (r)$ croît comme $\frac{1}{r^d}$ , l'espace X est dit de dimension d.

[modifier] Définition

La dimension de Haussdorff offre un moyen usuel de calcul de la dimension d'un espace métrique.

$H^s_{\delta}(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}diam(A_i)^s\right\}$

$H^s(E)=\lim_{\delta\rightarrow 0}H^s_{\delta}(E)$

$\dim_H(E)=\inf\left\{s,H^s(E)=0\right\}=\sup\left\{s,H^s(E)=\infty\right\}$

[modifier] Calcul pratique dans un cas particulier classique

Si $E~$ est une partie d'un $\R~$ -espace vectoriel qui vérifie la propriété suivante: Il existe $n~$ similitudes $f_1, f_2, ..., f_n~$ de rapports $r_1, r_2, ..., r_n~$ telles que les $f_i(E)~$ sont disjoints deux à deux et l'union est isométrique avec $E~$ , alors on a la relation:

$r_1^d + r_2^d + ... + r_n^d = 1$ où $d~$ est la dimension de $E~$ .

Cela découle de la propriété suivante des mesures de Hausdorff:

$H^d(\lambda \cdot E) = \lambda^d \cdot H^d(E)$ pour tout $\lambda~$ positif

et de l'invariance par isométrie. Cela offre un moyen simple de calculer les dimensions de fractales classiques (flocon de Koch, tapis de Sierpinski, etc...).

Exemple : L'ensemble de Cantor est constituée de deux ensembles de Cantor 3 fois plus petits (les deux similitudes sont donc ici des homothéties de rapports 1/3 composées avec des translations). Donc $2 \cdot (\frac{1}{3})^d = 1$ , ce qui donne : $d = \frac{\ln{2}}{\ln{3}} ~$ .

[modifier] Exemples

Le cercle est de dimension de Hausdorff 1.
La dimension de Hausdorff de la représentation triadique de Cantor est $\frac{\ln{2}}{\ln{3}} ~$ .
La dimension de Hausdorff du triangle de Sierpinski est $\frac{\ln{3}}{\ln{2}} ~$ .
La dimension de Hausdorff du tapis de Sierpinski est $\frac{\ln{8}}{\ln{3}} ~$ .
La trajectoire du mouvement brownien en dimension 2 est presque sûrement de dimension 2.