Décomposition en éléments simples

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En algèbre, la décomposition en fractions partielles ou en éléments simples d'une fonction rationnelle est son expression sous une somme de fractions ayant pour dénominateurs des puissances de polynômes irréductibles et pour numérateurs un polynôme de degré inférieur au polynôme irréductible du dénominateur. Les fractions partielles sont utilisées dans le calcul intégral pour faciliter la recherche de primitives. Elles sont aussi utilisées pour calculer l'inverse des transformées de Laplace.

Déterminer quels polynômes sont irréductibles dépend du corps de scalaires utilisé. Ainsi, si on se limite aux nombres réels, les polynômes irréductibles auront un degré de 1 ou de 2. Si les nombres complexes sont utilisés, seuls les polynômes de premier degré seront irréductibles. De même, si on se limite aux nombres rationnels, on pourra trouver des polynômes de degré supérieurs à 2 irréductibles.

Sommaire

1 Mise en place
2 Décomposition en éléments simples dans les complexes
- 2.1 Principes généraux
- 2.2 Exemples de décompositions
  - 2.2.1 Pôles de degré un
  - 2.2.2 Existence d'un pôle de degré supérieur à un
3 Décomposition en éléments simples dans les réels
- 3.1 Principes généraux
- 3.2 Exemples de décompositions
4 Principes généraux
- 4.1 Existence d'une décomposition dans tout corps
- 4.2 Cas d'un dénominateur à pôles d'ordre un
5 Utilisations
6 Fragments d'histoire
7 Voir aussi

[modifier] Mise en place

Soit P et Q deux fonctions polynomiales, on appelle fonction rationnelle, la fonction notée F dont le domaine de définition est $\left\{x \in K| Q(x) \ne 0\right\}$ et définie par $F(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ .

On s'intéressera, dans la suite, aux fonctions rationnelles simplifiées au maximum, c'est-à-dire dans lesquelles P et Q sont premiers entre eux et où Q est de degré supérieur ou égal à 1. On notera K un corps commutatif (en général $\mathbb C$ ou $\R$ ).

La première étape consiste à réduire la fraction de telle sorte que le degré du numérateur soit inférieur à celui du dénominateur. On procède pour ce faire à une division euclidienne de P par Q. On sait qu'il existe toujours un couple unique de polynômes T et R tels que $P = T \times Q + R$ avec degré de R < degre de Q. La fonction rationnelle $\frac{P}{Q}$ peut s'écrire alors $T + \frac RQ$ . T est appelée la partie entière de F et c'est sur $\frac RQ$ que l'on va procéder à une décomposition en éléments simples.

[modifier] Décomposition en éléments simples dans les complexes

[modifier] Principes généraux

On dit que z est un pôle d’ordre p de la fraction irréductible $F = \frac{P}{Q}$ si z est un zéro (ou racine) d’ordre p de Q.

Théorème — Si z est pôle d’ordre p de $F = \frac{P}{Q} \in \mathbb C(x)$ , on peut décomposer F de manière unique sous la forme

$F = \frac{P}{Q} = \frac{\gamma_1}{x-z}+...+\frac{\gamma_p}{(x-z)^p}+ \frac{P1}{Q1}$

où la fraction rationnelle $\frac{P1}{Q1}$ n’admet plus z comme pôle.

Or d'après le théorème fondamental de l'algèbre, le polynôme Q possède, dans $\mathbb C\,$ , p racines $(z_i)_{i=1\cdots p}$ d'ordres $n i$ avec $\sum_{i=1}^p n_i = n$ .

La propriété précédente se généralise alors à

Théorème — Soit $F=\frac{P}{Q} \in \mathbb C(x)$ irréductible, alors si Q admet la factorisation

$Q = (x - z_1)^{n_1} (x - z_2)^{n_2} ... (x - z_p)^{n_p}$

alors F admet la décomposition unique en éléments simples suivante

$F = \frac{P}{Q} =T+ \frac{a_1}{(x-z_1)}+ \frac{a_2}{(x-z_1)^2}+...+\frac{a_{n1}}{(x-z_1)^{n_1}}+ \frac{b_1}{(x-z_2)}+ \frac{b_2}{(x-z_2)^2}+...+\frac{b_{n2}}{(x-z_2)^{n_2}}+ ... + \frac{w_1}{(x-z_p)}+\frac{w_2}{(x-z_p)^2}...+\frac{w_{np}}{(x-z_p)^{n_p}}$

où les $a i, b i,...., w i$ sont des nombres complexes.

Note: Pour des raisons de simplicité d'écriture on peut aussi noter

$\frac{P(x)}{Q(x)} = T+ \frac{a_{11}}{(x-z_1)}+ \frac{a_{12}}{(x-z_1)^2}+...+\frac{a_{1n1}}{(x-z_1)^{n_1}}+ \frac{a_{21}}{(x-z_2)}+ \frac{a_{22}}{(x-z_2)^2}+...+\frac{a_{2n2}}{(x-z_2)^{n_2}}+ ... + \frac{a_{p1}}{(x-z_p)}+ \frac{a_{p2}}{(x-z_p)^2}...+\frac{a_{pn_p}}{(x-z_p)^{n_p}}$

où les $a i j$ sont des nombres complexes.

[modifier] Exemples de décompositions

L'existence d'une décomposition étant établie, la difficulté réside dans les techniques pour déterminer les différents coefficients. Ces techniques sont applicable dans le corps des complexes ou dans le corps des réels dès que le polynôme Q est produit de facteurs du premier degré. Dans un souci de lisibilité les exemples sont ici données avec des coefficients réels

[modifier] Pôles de degré un

Étude d'un cas simple : Soit $F(x) = \frac{1}{x^2-1}$

Cette fraction admet deux pôles simples 1 et -1 donc $Q(x) = (x-1)(x+1)\,$ .

On en déduit que F peut s'écrire sous la forme :

$F(x) = \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

Il s'agit de déterminer A et B. Une méthode qui est toujours réalisable consiste à réduire au même dénominateur le membre de droite de la décomposition et à identifier les coefficients des numérateurs. Cette méthode n'est pas très efficace car elle demande la résolution d’un nombre d’équations correspondant au nombre de coefficients à déterminer. On peut réduire grandement le travail en éliminant, par une multiplication judicieuse, tous les coefficients sauf un. Ainsi dans notre exemple en multipliant par (x-1), on obtient

$(x-1) \frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1}{(x+1)}= A + (x-1) \frac{B}{(x+1)}$

En posant alors x= 1, il vient A= 1/2

Puis, en multipliant F(x) par (x+1) et en posant x= -1, il vient B= -1/2 puisque

$(x+1) \frac{1}{(x+1)(x-1)}= \frac{1}{(x-1)} = B + (x+1) \frac{A}{(x-1)}$

La fonction $F$ se décompose alors en

$F(x) =\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{(x-1)} - \frac{1/2}{(x+1)}$

Cas plus complexe : De même, prenons la fonction rationnelle : $F(x)={x+3 \over x^4-5x^2+4}$ Par factorisation du polynôme bicarré et par utilisation des identités remarquables, on peut l'écrire

$F(x)={x + 3 \over (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}$

qui se décompose en

${x + 3 \over (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}= {A \over x-1}+{B\over x+1}+{C\over x-2}+{D\over x+2}$

Pour trouver le coefficient A, il suffit de multiplier les deux membres par x - 1 puis de remplacer x par 1

${x + 3 \over (x+1)(x-2)(x+2)}= A+{B(x-1)\over x+1}+{C(x-1)\over x-2}+{D(x-1)\over x+2}$

${1+3 \over (1+1)(1-2)(1+2)}= A =-{2 \over 3}$

De même pour trouver B, il suffit de multiplier par x + 1 et de remplacer x par -1

${-1+3 \over (-1-1)(-1-2)(-1+2)}= B ={1 \over 3}$

Pour C, il suffit de multiplier par x - 2 et de remplacer x par 2

${2 +3 \over (2-1)(2+1)(2+2)}= C ={5 \over 12}$

et pour D, on multiplie par x + 2 et on remplace x par -2

${-2 +3 \over (-2-1)(-2+1)(-2-2)}= D = -{1 \over 12}$

Donc

${x + 3 \over (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}= {-2/3 \over x-1}+{1/3\over x+1}+{5/12\over x-2}+{-1/12\over x+2}$

[modifier] Existence d'un pôle de degré supérieur à un

Pour une fonction rationnelle de la forme

${\bullet \over (x+2)(x+3)^5}$

(où « $\bullet$ » est un polynôme quelconque de degré inférieur à 5) la décomposition en fractions partielles aura comme allure

${A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^2}+{D \over (x+3)^3}+{E \over (x+3)^4}+{F \over (x+3)^5}.$

La détermination des coefficients A, B, C, D, E, F s'opère en effectuant le changement de variable $y = x + 3$ (autre méthode que précédemment mais qui conduit au même résultat final). La fraction s'écrit alors

${P(y) \over (y-1)y^5}$

La division de P(y) par y - 1 suivant les puissances croissantes(voir polynôme) nous donne alors

$P(y) = (y - 1)(F+Ey+Dy^2+Cy^3+By^4)+ Ay^5\,$

Il suffit alors d'opérer la division et de revenir à la variable de départ.

[modifier] Décomposition en éléments simples dans les réels

[modifier] Principes généraux

Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont du premier ou du second degré.

Théorème — Soit $F=\frac{P}{Q}$ irréductible, alors si Q admet la factorisation

$Q (x)=(x - z_1)^{n_1} (x - z_2)^{n_2} ... (x - z_p)^{n_p} (x^2- \beta_1 x + \gamma_1)^{m_1}(x^2- \beta_2 x + \gamma_2)^{m_2}...(x^2- \beta_{q} x + \gamma_{q})^{m_q}$

où les polynômes $x^2- \beta_g x + \gamma_g\,$ n’ont pas de racine réelle ( $Δ$ négatif ) alors F admet la décomposition unique en éléments simples suivante

$F(x) = \begin{array}[t]{l} T+ \frac{a_{11}}{(x-z_1)}+ \frac{a_{12}}{(x-z_1)^2}+...+\frac{a_{1n_1}}{(x-z_1)^{n_1}}\\ + \cdots\\ + \frac{a_{p1}}{(x-z_p)}+ \frac{a_{p2}}{(x-z_p)^2}+...+\frac{a_{pn_p}}{(x-z_p)^{n_p}}\\ + \frac{b_{11}x+c_{11}}{(x^2 - \beta_1 x + \gamma_1)}+ \frac{b_{12}x+c_{12}}{(x^2 - \beta_1 x + \gamma_1)^2} +...+ \frac{b_{1m_1}x+c_{1m_1}}{(x^2- \beta_1 x + \gamma_1)^{m_1}}\\ +...\\ + \frac{b_{q1}x+c_{q1}}{(x^2 - \beta_q x + \gamma_q)}+ \frac{b_{q2}x+c_{q2}}{(x^2 - \beta_q x + \gamma_q)^2} +...+ \frac{b_{qm_q}x+c_{qm_q}}{(x^2- \beta_q x + \gamma_q)^{m_q}} \end{array}$

où les $a i j$ , $b g l$ et $c g l$ sont des nombres réels.

[modifier] Exemples de décompositions

Les méthodes de décomposition dans le cas où Q est un produit de facteurs du premier degré ont été étudié dans la section précédente. il ne reste donc plus qu'à traiter des exemples où Q comporte un ou plusieurs facteurs irréductibles du second degré.

[modifier] Existence d'un facteur irréductible du second degré

Pour décomposer

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}$

en fractions partielles, observons d'abord

$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).\,$

Le fait que x² + 2x + 4 ne soit pas factorisable en utilisant des coefficients réels est visible car le discriminant, 2² − 4(1)(4), est négatif. Nous cherchons donc des scalaires A, B, C tels que

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={10x^2+12x+20 \over (x-2)(x^2+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^2+2x+4}.$

Les différentes étapes sont :

En multipliant par $(x - 2)$ il vient :

$\frac{(x-2)(10x^2+12x+20)}{(x-2)(x^2+2x+4)}= (x-2) \frac{A}{(x-2)}+ (x-2) \frac{(Bx+C)}{x^2+2x+4}$

soit : $\frac{(10x^2+12x+20)}{(x^2+2x+4)}= A + (x-2) \frac{(Bx+C)}{x^2+2x+4}$

En posant x=2 :

$\frac{(10.2^2+12.2+20)}{(2^2+2.2+4)}= A + (2-2) \frac{(Bx+C)}{2^2+2.2+4}$

soit: 7 = A

En posant x=0 et A=7, il vient:

$\frac{(10x^2+12x+20)}{(x-2)(x^2+2x+4)}= \frac{7}{(x-2)}+ \frac{(Bx+C)}{x^2+2x+4}$

soit C=4

En posant x=1 , A=7 et C=4 :

$\frac{(10.1^2+12.1+20)}{(1-2)(1^2+2.1+4)}= \frac{7}{(1-2)}+ \frac{(B.1+4)}{1^2+2.1+4}$

soit B=3

La décomposition en fractions partielles est

${10x^2+12x+20 \over x^3-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^2+2x+4}.$

[modifier] Passage par les complexes

à faire ...

[modifier] Répétition d'un facteur irréductible du second degré

${25 \over (x+2)(x^2+1)^2}$

avec le facteur irréductible du second degré x² + 1 au dénominateur, la décomposition en fractions partielles sera de la forme

${A \over x+2}+{Bx + C\over x^2+1}+{Dx+E \over (x^2+1)^2}$

La détermination de A se fait en multipliant par $x + 2$ et en prenant x = -2. On obtient A = 1. On peut alors écrire

$F(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{R(x)}{(x^2+1)^2}$

Ce qui donne

$\frac{R(x)}{(x^2+1)^2} = {25 \over (x+2)(x^2+1)^2} - \frac{1}{x+2} = \cdots = \dfrac{-x^3+2x^2-6x+12}{(x^2+1)^2}$

En remplaçant $x 2 + 1$ par y, c'est à dire $x 2$ par $y - 1\,$

$\frac{R(x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-xy+x +2y - 2 -6x + 12}{y^2}=\frac{-x+2}{y}+\frac{-5x+10}{y^2} =\frac{-x+2}{x^2+1}+\frac{-5x+10}{(x^2+1)^2}$

La décomposition finale est donc

${25 \over (x+2)(x^2+1)^2} = \frac{1}{x+2} + \frac{-x+2}{x^2+1}+\frac{-5x+10}{(x^2+1)^2}$

[modifier] Principes généraux

[modifier] Existence d'une décomposition dans tout corps

Le principe de base est assez simple ; c'est plutôt le côté algorithmique qui réclamera de l'attention dans les cas particuliers.

Soit R(x) une fonction rationnelle de x qui admet une factorisation au dénominateur qu'on notera

P(x)Q(x)

sur un corps K (par exemple les nombres réels ou les nombres complexes). Si P et Q sont premiers entre eux, alors R peut s'écrire

${A \over P} + {B \over Q}$

pour certains polynômes A(x) et B(x) sur K. L'existence d'un telle décomposition est une conséquence du fait que l'anneau des polynômes sur K est un anneau euclidien dans lequel l'égalité

CP + DQ = 1

existe pour certains polynômes C(x) et D(x). On obtient ce dernier résultat par l'identité de Bézout.

L'utilisation de ce principe permet d'écrire R(x) comme une somme de fonctions rationnelles avec comme dénominateurs des puissances de polynômes irréductibles.

Enfin une fraction de la forme

${G \over F^n}$

peut s'écrire comme une somme de fractions dont le dénominateur est une puissance de F et dont les numérateurs sont de degrés inférieurs à F, plus, éventuellement un autre polynôme. Ceci peut être réalisé grâce à une succession de division euclidienne par F (la méthode est analogue à celle utilisée pour écrire un nombre en base a). Quand K est le corps des nombres complexes, F est de degré 1 (théorème fondamental de l'algèbre) et les numérateurs sont donc constants. Quand K est le corps des nombres réels, le degré de F sera 1 ou 2 et les numérateurs seront linéaires ou constants.

[modifier] Cas d'un dénominateur à pôles d'ordre un

Les exemples précédents peut être généralisés à la situation suivante:

Soit Q(x) un polynôme unitaire de degré n sur un corps K dont la décomposition en facteurs de premiers degrés est

$Q(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i)$

où tout les $x i$ différents deux à deux. En d'autres mots, Q a des racines simples sur K. Si P(x) est un polynôme quelconque de degré $\le n-1$ , par la formule d'interpolation de Lagrange P(x) peut être écrit de manière unique comme un somme