Carré (algèbre)

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Le carré d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même. L'opération inverse du carré est la racine carrée.

Exemples :

5² = 25
1² = 1
10² = 100
$\sqrt{100} = 10$

Sommaire

1 Généralités sur le carré
2 La racine carrée
3 Résoudre l'équation x² = a dans l'ensemble des réels
4 Notes et références de l'article
5 Voir aussi

[modifier] Généralités sur le carré

Quand on multiplie un nombre au carré, on le multiplie par lui-même. Ainsi, les formes 12² et 12 x 12 sont équivalentes. Néanmoins on préfère la forme 12² autant que possible pour sa clarté et sa concision. Un carré est toujours positif pour tout nombre réel.

Exemple : 12² = (-12)² = 12 x 12 = -12 x (-12) = 144

Attention ! -(12²) et (-12)² sont deux nombres différents. Le premier vaut -144 (on multiplie 12 par 12 puis par -1) et le deuxième 144 (le - est englobé dans la parenthèse).

[modifier] La racine carrée

Comme on peut élever un nombre au carré, on peut aussi faire l'opération inverse. Cela s'appelle la racine carrée d'un nombre. Soit a un nombre positif, la racine carrée de a s'écrit : $\sqrt a$ Il est important de préciser que a doit être positif. En effet écrire $\sqrt{-a}$ par exemple reviendrait à dire que a² < 0 ce qui n'est pas possible dans l'ensemble des réels. Par contre, comme il est possible d'écrire -(12²) il est tout à fait possible d'écrire $-\sqrt a$

[modifier] Résoudre l'équation x² = a dans l'ensemble des réels

[modifier] Premier cas : a < 0

Lorsque a est strictement inférieur à 0, cela revient à dire que x² est négatif. Or dans l'ensemble des réels, le carré d'un nombre n'est jamais négatif. Donc : $S = \empty$

[modifier] Deuxième cas : a = 0

Lorsque a vaut 0, une seule solution est possible : 0 (puisque zéro n'a pas de signe). Donc : $S = \left\{0\right\}$

[modifier] Troisième cas : a > 0

Nous avons vu dans la partie précédente que 12² = (-12)² = 144. On peut réappliquer cette affirmation à l'équation x² = a. Ici l'équation a donc deux solutions : $S = \left\{-\sqrt a ; \sqrt a\right\}$