Schwerebeschleunigung

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Physikalische Größe
Name		örtliche Fallbeschleunigung
Größenart		Beschleunigung
Formelzeichen der Größe		g
Größen- und Einheitensystem	Einheit		Dimension
SI	m·s^-2		L·T ^-2
CGS	cm·s^-2		L·T ^-2
Planck	Planck-Beschleunigung		ħ^-1/2·G^-1/2·c^7/2

Unter Schwere- bzw. Fall- oder auch Oberflächenbeschleunigung, kurz Schwere, versteht man im weiteren Sinne die Beschleunigung, die ein Körper im freien reibungslosen Fall auf einer Planetenoberfläche erfährt.

Die Schwere auf einem (in der Regel rotierenden) Himmelskörper ist die Summe aus Gravitationsbeschleunigung (Gravitation) und Zentrifugalbeschleunigung. Der schwereverringernde Beitrag der Zentrifugalbeschleunigung ist jedoch meist gering.

Im engeren Sinne wird unter der Schwerebeschleunigung die Konstante der Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfläche verstanden. Sie wird mit g bezeichnet. Die Schwerebeschleunigung der Erde beträgt durchschnittlich g = 9,81 m · s^-2, variiert aber aufgrund der Zentrifugalbeschleunigung und der Erdgestalt regional um einige Promille.

Inhaltsverzeichnis

1 Einheiten
2 Berechnung
- 2.1 Beispiel Erde
3 Messung
4 Schwerebeschleunigung ausgewählter Himmelskörper
5 Siehe auch

[Bearbeiten] Einheiten

Die SI-Einheit der Schwerebeschleunigung ist m s^-2. Der Millionste Teil davon ist 1 µm s^-2, was etwa der Messgenauigkeit von Gravimetern entspricht.

Im alten CGS-System heißt die Einheit Gal (nach Galileo Galilei) oder γ, das in der Gravimetrie und Angewandten Geophysik oft in 1000 Milligal unterteilt wird:

1 Gal = 1 γ = 1 cm s^-2 = 0,01 m s^-2

1 mGal = 10^-5 m s^-2 = 10 µm s^-2

Siehe unten. Geophysiker verwenden γ aber meistens als Formelzeichen für die theoretische Schwere, unten als g_N bezeichnet.

Manchmal dient die Erdschwerebeschleunigung g auch als Einheit. Im Mittel der Erde gilt dann genähert

1g = 9,81 m · s^-2 = 981 Gal = 981.000 mGal.

[Bearbeiten] Berechnung

Die Schwerebeschleunigung bestimmt die Kraft F, mit der ein Körper m von einem Himmelskörper angezogen wird:

$F = m \cdot g$

Die Schwerkraft setzt sich aus der anziehend wirkenden Gravitationskraft und der abstoßend wirkenden Zentrifugalkraft zusammen.

$\vec F_\mathrm{Schwere} = \vec F_\mathrm{Gravitation} + \vec F_\mathrm{Zentrifugal}$

Für die Schwerebeschleunigung gilt dementsprechend:

$\vec g_\mathrm{Schwere} = \vec g_\mathrm{Gravitation} + \vec g_\mathrm{Zentrifugal}$

Am Äquator wirken Gravitationkraft und Zentrifugalkraft genau entgegengesetzt.

g Schwere = g Gravitation - g Zentrifugal

Am Pol wirkt keine Zentrifugalkraft, da der Abstand von der Rotationsachse null ist.

g Schwere = g Gravitation

Die Gravitationsbeschleunigung lässt sich (für Punktmassen) aus der Masse (m) und Abstand (r) mit der Gravitationskonstante (G) berechnen.

$g_\mathrm{Gravitation} = \frac{G \cdot m}{r^2}$ mit $G=6{,}67428 \cdot 10^{-11}\,{\mathrm{m^3}\over\mathrm{kg\,s^2}}$

Die Zentrifugalbeschleunigung lässt sich aus Umlaufdauer (T) und Abstand (r) berechnen.

$g_\mathrm{Zentrifugal} = \omega^2 \cdot r$ mit $\omega = \frac{2 \pi}{T}$

[Bearbeiten] Beispiel Erde

Die folgenden Berechnungen für die Gravitationsbeschleunigung liefern nur Näherungswerte, da die Newtonsche Gravitationsgleichung nur für Punktmassen gilt. Die Erde kann jedoch, bei Betrachtung von ihrer Oberfläche aus, nicht als Punktmasse modelliert werden. Darüber hinaus erfordert eine korrekte Berechnung der Gravitation an verschiedenen Punkten auf der Erde die Berücksichtigung der Schwereanomalien.

Für das einfache Modell eines Ellipsoides mit aller Masse im Zentrum aber gilt:

Masse: $m=5{,}974 \cdot 10^{24}\,\mathrm{kg}$

Äquatorradius: $r_\mathrm{\ddot{A}} = 6{,}378 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m}$

Polradius: $r_\mathrm{P} = 6{,}357 \cdot 10^{6}\,\mathrm{m}$

Rotationsdauer: $T = 0{,}9973 \mathrm{d} = 8{,}617 \cdot 10^{4}\,\mathrm{s}$

Am Äquator:

$g_\mathrm{Gravitation} = 9{,}802 \,{\mathrm{m}\over\mathrm{s^2}}$ [1]

$g_\mathrm{Zentrifugal} = 0{,}034 \,{\mathrm{m}\over\mathrm{s^2}}$ [2]

$g_\mathrm{Schwere} = g_\mathrm{Gravitation} - g_\mathrm{Zentrifugal} = 9{,}768 \,{\mathrm{m}\over\mathrm{s^2}}$

Am Pol:

g Zentrifugal = 0

$g_\mathrm{Schwere} = g_\mathrm{Gravitation} = 9{,}867 \,{\mathrm{m}\over\mathrm{s^2}}$ [3]

Die Normalschwerewerte an der Erdoberfläche lassen sich mit der Formel von Somigliana genau berechnen. Hierbei wird die Form des Erdschwerefeldes durch ein Normalellipsoid angenähert.

$\gamma_0(\varphi) = \frac{a \gamma_a \cos^2 \varphi + b \gamma_b \sin^2 \varphi}\sqrt{a^2 \cos^2 \varphi + b^2 \sin^2 \varphi}$

mit den Parametern des Geodätische Referenzsystem 1980 (GRS 80) :

$a = 6\,378\,137\,\mathrm{m}$ = große Halbachse (Äquatorradius)

$b = 6\,356\,752{,}314\,1\,\mathrm{m}$ = kleine Halbachse (Polradius)

$\gamma_a = 9{,}780\,326\,771\,5\,\mathrm m s^{-2}$ = Normalschwere am Äquator

$\gamma_b= 9{,}832\,186\,368\,5\,\mathrm m s^{-2}$ = Normalschwere am Pol

$\varphi$ = geographische Breite

Dies kommt den gemessenen Werten bereits sehr nahe. Eine noch bessere Beschreibung der Erdschwere muss auch weitere Asymmetrien in der Form der Erde berücksichtigen (siehe Geoid).

[Bearbeiten] Messung

Die Schwerebeschleunigung kann mit Gravimetern auf µGal genau gemessen werden.

Eine andere Methode beruht auf der Messung der Schwingungsdauer T eines Fadenpendels mit Fadenlänge L:

$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$

[Bearbeiten] Schwerebeschleunigung ausgewählter Himmelskörper

Die Tabelle vergleicht die Schwerebeschleunigung der Erde mit Himmelskörpern unseres Planetensystems:

Himmels- körper	Beschleunigung in m/s²	relative zur Erde (in g)
Merkur	3,83	0,39
Venus	8,73	0,89
Erde	9,81	1,00
Mars	3,83	0,39
Jupiter	24,53	2,50
Saturn	10,79	1,10
Uranus	8,7	0,89
Neptun	11,77	1,20
Pluto	0,58	0,06
Sonne	272,72	27,80
Mond	1,57	0,16

Zum Vergleich: Kurzzeitig überlebt ein Mensch 15g, einige Minuten lang etwa 6g, siehe g-Kraft.

[Bearbeiten] Siehe auch

Gravitationskonstante, kosmologische Konstante
Beschleunigung, Erdschwerebeschleunigung
Atwoodsche Maschine, Fallschnur
Schwereanomalie, Schweregradient
GRACE, Satelliten zur Bestimmung des Erdschwerefeldes

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[Bearbeiten] Beispiel Erde

[Bearbeiten] Messung

[Bearbeiten] Schwerebeschleunigung ausgewählter Himmelskörper

[Bearbeiten] Siehe auch

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