Diskussion:Satz von Heine-Borel

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[Bearbeiten] Gegenbeispiel

Was ist denn R^unendlich? Ich kenne das nur als Synonym für R^(N), also die Menge aller reellen Folgen, die nach endlich vielen Schritten Null werden. Wenn dieser Raum gemeint ist, welche Metrik nehmen wir darauf? Es gibt keine kanonische... Das Gegenbeispiel scheint mir nicht wirklich gut gewählt. Man könnte stattdessen einfach erwähnen, dass dies bei allen unendlich dimensionalen Banachräumen falsch ist. Wer mit dem Begriff Banachraum nichts anfangen kann, wird eventuell auch mit dem Beispiel R^unendlich nichts anfangen...

Andere Idee: Wir nehmen als Beispiel des metrischen Raums: die positiven reellen Zahlen (ohne Null). Das ist unser Raum X=]0,unendlich[. Die abgeschlossene Kugel um die 1 mit Radius 1 ist dann die Menge ]0,2]. Diese ist abgeschlossen und beschränkt (abg. Kugeln in metr.Räumen sind immer abgeschlossen und immer beschränkt), aber NICHT kompakt!

Noch ein Beispiel wäre vielleicht: Eine unendliche Menge X mit der diskreten Metrik: d(x,y)=1 falls xungleich y ist. Dann ist JEDE Menge abgeschlossen und JEDE Menge ist beschränkt, aber nur die ENDLICHEN Mengen sind kompakt.

Meinungen?

[Bearbeiten] Heines Anteil

Wenn Heine nichts zu dem Satz beigetragen hat, wieso ist er dann trotzdem nach ihm benannt? Wenn man die Tatsache schon erwähnt, sollte man den Leser doch nicht im Dunkeln darüber lassen?!