arg max

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Die arg max-Funktion (Argument des Maximums) ist eine in der Mathematik verwendete Funktion zur Bestimmung des Werts, an welchem eine Funktion ihr Maximum annimmt. Analog dazu wird die arg min-Funktion benutzt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Beispiel
2 Alternative Definitionen
- 2.1 Beispiel

[Bearbeiten] Definition

Ist $D$ der Definitionsbereich einer Funktion $f$ , dann ist $argmax$ von $f$ der Wert $x max$ , an dem die Funktion ihr Maximum annimmt, d.h.

$x_\mathrm{max}=\arg \max f(x) :\Leftrightarrow f(x_\mathrm{max})= \max_{x \in D} f(x).$

Es geht also nicht um den Wert des Maximums selbst, sondern um einen Wert aus dem Definitionsbereich.

Dieses ist nicht wohldefiniert, falls die Funktion an mehreren Stellen ihr Maximum annimmt.

[Bearbeiten] Beispiel

$\arg\max_{x\in\R} (x(10-x)) = 5,$

da der Maximale Wert von

x (10 - x)

25 ist, welcher bei $x = 5$ angenommen wird.

[Bearbeiten] Alternative Definitionen

Alternativ kann $argmax$ als Menge definiert werden:

$\arg \max_{x \in D} f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ maximal}\}.$

Analog dazu wird

$\arg \min_{x \in D} f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ minimal}\}$

definiert.

[Bearbeiten] Beispiel

$\arg \max_{x \in [0,4\pi]} \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}.$

Kategorie: Analysis

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