Cosinusrelation
Fra Wikipedia, den frie encyklopædi
Cosinusrelationer er trigonometriske formler der bestemmer cosinus til vinklerne i en trekant hvori man kender sidernes længder. Kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C skrives formlerne således:
For bestemmelse af sider kan denne omskrivning bruges:
Bemærk at cosinusrelationen gælder for alle trekanter, ikke kun retvinklede trekanter som den på billedet.
For at bruge formlen til noget nyttigt skal man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. Løser man ligningen med hensyn til en vinkel, er der i princippet uendeligt mange vinkler hvis cosinus er lig med en given størrelse, men da vinkelsummen i en trekant altid er 180°, er det kun den såkaldt principale løsning (som altid ligger mellem 0 og 180°) der giver mening i trekantberegninger.
Indholdsfortegnelse |
[redigér] Bevis
For at bevise cosinusrelationerne tegner man en trekant som man deler op i to trekanter (for at få rette vinkler at regne med). Linien fra vinlen A til siden a = højden (h).
[redigér] Bevis for cosinusrelationen b2 = c2 + a2 - 2a 
c cos(B):
Med pythagoras får man af den grå trekant: (a - x)2 + h2 = b2 <=> h2 = b2 - (a - x)2.
Og tilsvarende af den anden trekant: h2 + x2 = c2 <=> c2 - x2 = h2.
Nu er h2 isoleret i hver af disse ligninger. De kan derfor sættes lig hinanden:
c2 - x2 = b2 - (a - x)2.
Nu skal b2 isoleres, derfor får man: b2 = c2 - x2 + (a - x)2.
Parenteserne i denne ligning udregnes: b2 = c2 - x2 + a2 - 2ax + x2
Dette reduceres til: b2 = c2 + a2 - 2ax.
Vinkel B (i den hvide retvinklede trekant) kan udregnes af: cos(B) = x / c Ved at isolere x i denne ligning får man: x = cos(B) · c.
Da x = cos(B) · c kan man i ligningen b2 = c2 + a2 - 2ax fra før, erstatte x'et med cos(B) · c.
Dvs. b2 = c2 + a2 - 2ax <=> b2 = c2 + a2 - 2a · c · cos(B).
Nu er beviset færdigt.
De andre former af cosinusrelationen bevises på tilsvarende måde.
[redigér] Se også
[redigér] Eksterne henvisninger
CosSinCalc - Et online-værktøj, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig.
